Kezdőlap


Feladat:	658. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1938/szeptember, 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Merev test egyensúlya
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 658. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C D$ tetraéder határlapjainak súlypontjai $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ . Ezek oly tetraéder csúcsai, amely az adott $A B C D$ -hez hasonló és ennek térfogati súlypontjára nézve hasonló helyzetű; a hasonlóság aránya $1 : 3$ .
Ebből következik, hogy az $A B C D$ tetraéder lapjaira merőleges erők az $A' B' C' D'$ tetraéder csúcsaiban hatnak a csúcsokkal szemközti határlapokra merőlegesen, tehát az $A' B' C' D'$ tetraéder magasságainak irányában, mégpedig vagy mind a négy a lapok felé vagy evvel ellentétes irányban; nagyságra nézve pedig ugyancsak ezen határlapok területével arányosak.

Jelöljék

a'

b'

c'

d'

a határlapok területét és

k a'

k b'

k c'

k d'

az erők nagyságát. Az

A' B' C' D'

tetraéder lapjainak hajlásszögét jelölje egyszerűen azon él, amelyben két-két lap metszi egymást. Két magasság hajlásszöge a megfelelő lapok hajlásszögének kiegészítő szöge.
Ezek tekintetbevételével az erők vetületeinek összege az

A' A''

magasságon

\begin{matrix} k a' - k b' cos \bar{C' D'} - k c' cos \bar{B' D'} - k d' cos \bar{B' C'} = \\ = k [a' - (b' cos \bar{C' D'} + c' cos \bar{B' D'} + d' cos \bar{B' C'})] . \end{matrix}

A kis zárójelben foglalt összeg jelenti a

b'

c'

d'

területű határlapok vetületeinek összegét az

a'

területű határlapon; ezen összeg azonban éppen

a'

-vel egyenlő. Eszerint az erők vetületeinek összege az

A' A''

magasságon zérus. Ugyanez érvényes mindegyik magasságra is. Ebből következik, hogy az erők vetületeinek összege egy triéder három éle mentén ‐ mint egy térbeli koordinátarendszer élei mentén ‐ ugyancsak zérus és így az erők eredője is zérus.
Számítsuk ki már most az erőknek a tetraéder éleire vonatkozó forgató nyomatékainak összegét.
Tekintsük pl. a

C' D'

élt. Két erő forgató nyomatéka zérus: az egyik a

C'

, a másik a

D'

ponton megy át. Az

A'

csúcson átmenő erő forgató nyomatéka (ábránk szerint)

\begin{matrix} M (k a') = k a' \cdot A'' H' = k a' \cdot A' A'' cotg \bar{C' D'} . \end{matrix}

Ha a tetraéder térfogata

V

, akkor

3 V = a' \cdot A' A''

,
tehát

\begin{matrix} M (k a') = 3 k \cdot V \cdot cotg \bar{C' D'} \end{matrix}

B'

csúcson átmenő erő a

C' D'

élre nézve ellenkező irányú forgást létesít és így

\begin{matrix} M (k b') = - 3 k V \cdot cotg \bar{C' D'} \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy bármely élre vonatkozólag az erők forgató nyomatékának összege eltűnik, tehát ha egy triéder éleit koordinátarendszer tengelyeinek tekintjük, ezekre vonatkozólag a forgató nyomatékok összege is zérus.
A 4 erő egyensúlyt tart.