Kezdőlap


Feladat:	657. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fonó Katalin , Sándor Gyula , Than Károly
Füzet:	1938/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test egyensúlya, Feladat, Súlypont
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 657. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Bármelyik $P$ kerületi pontján függesztjük fel a háromszöget, a súlyvonal a háromszög $S$ súlypontján megy keresztül; ez a $P S$ egyenes a háromszöget két részre osztja, az egyik a $C P R △$ , a másik az $A P R B$ négyszög. Minthogy a háromszög homogén anyagból való, a két rész tömege a területükkel arányos. Az $A B C △$ területe legyen $t$ , a $C P R △$ -é $t_{1}$ ; a négyszög területe $t - t_{1}$ . Keresnünk kell eszerint az

\begin{matrix} y = \frac{t - t_{1}}{t_{1}} = \frac{t}{t_{1}} - 1 ... \end{matrix}

(1)

kifejezés értékét, mint

A P = x

függvényét, ha

0 ≦ x ≦ \frac{a}{2}

. (Ugyanis

P

távolságát a hozzá közelebb eső csúcstól számítjuk!) Már most

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{2} R C \cdot P P_{1} = \frac{1}{2} (R A_{1} + A_{1} C) \cdot P P_{1} = \frac{1}{2} (R A_{1} + \frac{a}{2}) P P_{1} ... \end{matrix}

(2)

P P_{1} C

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} P P_{1} = P C sin 60^{\circ} = (a - x) \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Legyen a változó

A S P ∢ = R S A_{1} ∢ = α

.
Ekkor

R A_{1} = S A_{1} tg α = \frac{a}{6} \sqrt[]{3} tg α

, mert

\begin{matrix} S A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1} = \frac{1}{3} a \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{a}{6} \sqrt[]{3} . \end{matrix}

P Q S △

-ből

\begin{matrix} tg α = \frac{P Q}{Q S} . \end{matrix}

Azonban

P Q = A P \cdot sin 30^{\circ} = \frac{x}{2} és Q S = A S - A Q = \frac{2}{3} a \frac{\sqrt[]{3}}{2} - x \frac{\sqrt[]{3}}{2}

.

Így

\begin{matrix} Q S = \frac{\sqrt[]{3}}{6} (2 a - 3 x), tg α = \frac{x \sqrt[]{3}}{2 a - 3 x} . \end{matrix}

és

\begin{matrix} R A_{1} = \frac{a}{6} \sqrt[]{3} \cdot \frac{x \sqrt[]{3}}{2 a - 3 x} = \frac{a x}{2 (2 a - 3 x)} . \end{matrix}

továbbá 2) alapján

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{2} [\frac{a x}{2 (2 a - 3 x)} + \frac{a}{2}] (a - x) \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{a \sqrt[]{3}}{4} \cdot \frac{{(a - x)}^{2}}{2 a - 3 x} ... \end{matrix}

(3)

Minthogy

\begin{matrix} t = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3}, azért y = \frac{a (2 a - 3 x)}{{(a - x)}^{2}} - 1 ... \end{matrix}

(4)

2^{0}

. A

P R

által szétválasztott két rész területe egyenlő, ha

y = 1

, azaz ha

\begin{matrix} \frac{a (2 a - 3 x)}{{(a - x)}^{2}} - 1 = 1. \end{matrix}

Innen, rendezés után keletkezik

\begin{matrix} x (2 x - a) = 0 ... \end{matrix}

(5)

azaz

x_{1} = 0

x_{2} = \frac{a}{2}

. A két rész területe akkor és csak akkor egyenlő, ha a

P

pont a háromszög egyik csúcsa, vagy egyik oldalának felező pontja. Mind a két eset azt jelenti, hogy a

P R

súlyvonal a háromszög valamely súlyvonala, mely a háromszöget két egybevágó háromszögre bontja.
3. Az

y

függvény értéke eszerint az

x

szóbanforgó intervallumának két határpontján egyenlő, t. i.

x = 0

és

x = \frac{a}{2}

helyen

y = 1

. Minthogy

y

x

-nek folytonos függvénye, kell, hogy a

[0, \frac{a}{2}]

intervallumban szélső értéke legyen.
Vizsgáljuk

y

differenciálhányadosát!

\begin{matrix} y' = \frac{- 3 a {(a - x)}^{2} + 2 (a - x) (2 a^{2} - 3 a x)}{{(a - x)}^{4}} = \frac{- 3 a (a - x) + 4 a^{2} - 6 a x}{{(a - x)}^{3}} \\ y' = \frac{a (a - 3 x)}{{(a - x)}^{3}} . \end{matrix}

Szélső érték csak ott lehet, ahol

y' = 0

, tehát ha

x = \frac{a}{3}

.
Ha

x < \frac{a}{3}

, akkor

y' > 0

; ha

x > \frac{a}{3}

, akkor

y' < 0

.
Ebből következik, hogy az

y

függvény értéke először

y = 1

-től növekedik egy bizonyos maximumig, azután csökken

y = 1

-ig. Még pedig

\begin{matrix} y_{{max}_{}^{}} = \frac{a (2 a - a)}{(\frac{2 a}{3})} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4} . \end{matrix}

Látjuk ebből, hogy

t - t_{1} > t_{1}

, azaz a négyszög területe mindig nagyobb a háromszögénél. (Egyenlőség akkor áll elő, ha a négyszög háromszöggé válik).