Kezdőlap


Feladat:	645. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók L. , Fehér György , Pálfay Ferenc , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Szablics Ferenc , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/március, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb áramkörök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 645. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $C$ a sűrítő kapacitását, $Q$ a töltését és $V$ a megfelelő potenciálkülönbséget. A fegyverzetek közti áramlás folytán $Q$ és $V$ is folyton változik, de változik az áram $i$ erőssége is. Így

\begin{matrix} i = - \frac{d Q}{d t} = \frac{V}{R} = \frac{Q}{C R}, tehát - \frac{d Q}{Q} = \frac{d t}{C R}, \end{matrix}

(ahol

d Q

negatív mennyiséget jelent.)
A fegyverzetek összekapcsolásától számított

t

idő alatt a

Q

töltés értéke egy bizonyos

Q_{1}

értékről

Q_{2}

-re csökkent és így

\begin{matrix} - \int_{Q_{1}}^{Q_{2}} \frac{d Q}{Q} = \frac{1}{C R} \int_{0}^{t} d t, & azaz - {[l_{n} Q]}_{Q_{1}}^{Q_{2}} = \frac{t}{C R}^{1} \\ - (l_{n} Q_{2} - l_{n} Q_{1}) & = - l_{n} \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{t}{C R} . \end{matrix}

¹
Az adott esetben

\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{1}{2}

- l_{n} \frac{1}{2} = l_{n} 2

és

t = 60

sec,

C = 9 \cdot 10^{5}

cm,
tehát

\begin{matrix} l_{n} 2 = \frac{60}{C R}, R = \frac{60}{C l_{n} 2} = \frac{60}{9 \cdot 10^{5} \cdot l_{n} 2} elektrostatikai egység. \end{matrix}

Az ellenállás elektrostatikai egysége

= 9 \cdot 10^{11}

ohm. Eszerint

\begin{matrix} R = \frac{60 \cdot 9 \cdot 10^{11} ohm}{9 \cdot 10^{5} \cdot 0, 6932} = \frac{60}{0, 6932} \cdot 10^{6} ohm \sim 87 megaohm. \end{matrix}

Szablics Ferenc (Ref. g. VIII. o., Csurgó)
Pálfay Ferenc (Br. Kemény Zsigmond g. VIII. o. Bp. VI.)

Jegyzet. Amint láttuk,

l_{n} (\frac{Q_{2}}{Q_{1}}) = - \frac{t}{C R}

,
tehát

\begin{matrix} \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = e^{- \frac{t}{C R}}, Q_{2} = Q_{1} e^{- \frac{t}{C R}}, \end{matrix}

ahol

e

a természetes logarithmusok alapszáma.
Ha a

C

kapacitású sűrítőnek

Q_{1}

töltése van és a fegyverzeteket

R

ellenállású vezetővel kötjük össze, akkor

t

idő múlva a sűrítő töltése,

Q_{2}

, a

t

exponenciális függvénye. A kisülés közben fellépő áram intenzitása

\begin{matrix} i = - \frac{d Q}{d t} = + \frac{Q_{1}}{C R} e^{- \frac{t}{C R}} . \end{matrix}

Vizsgáljuk most az előbbi folyamatot az energiaváltozás szempontjából.
Ha a sűrítő töltése

Q_{1}

, akkor potenciális energiája

\frac{1}{2} \cdot \frac{Q_{1}^{2}}{C}

; ha a töltése

\frac{1}{2} Q_{1}

lesz, energiája

\frac{1}{2} \cdot {(\frac{Q_{1}}{2})}^{2} \cdot \frac{1}{C} = \frac{Q_{1}^{2}}{8 C}

. A sűrítő energia-vesztesége:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{Q_{1}^{2}}{C} - \frac{1}{8} \cdot \frac{Q_{1}^{2}}{C} = \frac{3}{8} \frac{Q_{1}^{2}}{C} . \end{matrix}

A sűrítő ezen energiavesztesége az elektromos áram munkájává alakult

t

idő alatt; állandó áramerősség mellett ennek értéke:

i^{2} R t

. Az adott esetben azonban

i

nem állandó és így az áram munkája

\begin{matrix} \int_{0}^{t} i^{2} R d t = {(\frac{Q_{1}}{C R})}^{2} R \int_{0}^{t} e^{- \frac{2 t}{C R}} d t = - \frac{C R}{2} {(\frac{Q_{1}}{C R})}^{2} R {[e^{- \frac{2 t}{C R}}]}_{0}^{t} = \\ = - \frac{Q_{1}^{2}}{2 C} [e^{- \frac{2 t}{C R}} - 1] = - \frac{Q_{1}^{2}}{2 C} [{(\frac{1}{2})}^{2} - 1] = \frac{3}{8} \frac{Q_{1}^{2}}{C} . \end{matrix}

T. i. az adott esetben

e^{- \frac{t}{C R}} = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{1}{2}

.
Általában pedig

\begin{matrix} \int_{0}^{t} i^{2} R d t = - \frac{Q_{1}^{2}}{2 C} [e^{- \frac{2 t}{C R}} - 1] = - \frac{Q_{1}^{2}}{2 C} [{(\frac{Q_{2}}{Q_{1}})}^{2} - 1] = \\ = \frac{Q_{1}^{2} - Q_{2}^{2}}{2 C} . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy a sűrítő energia-vesztesége, miközben töltése

Q_{1}

-ről

Q_{2}

-re csökken a fegyverzetek összekapcsolása folytán, megegyezik az összekötő drótban keletkezett áram munkájával.

l

log naturalist jelent;

l_{n} 2 = 0, 69315