|
Feladat: |
B.3685 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bednay Dezső , Bitai Tamás , Bodnár József , Csajbók Bence , Csorba János , Czank Tamás , Dudás László , Dömötör Erika , Erdélyi Márton , Hegyháti Máté , Hubay Tamás , Jankó Zsuzsanna , Kirilly György , Kisfaludy-Bak Sándor , Kiss Gábor , Kiss Orsolya , Kiss-Tóth Christian , Korándi Dániel , Kunovszky Péter , Mészáros György , Nagy Csaba , Pálinkás Csaba , Poronyi Balázs , Rácz Miklós , Strenner Balázs , Sümegi Károly , Szabó Botond , Szabó Tamás , Szirtes Krisztina , Török Zoltán Bálint , Vaskó Richárd |
Füzet: |
2005/április,
213 - 214. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szöveges feladatok, Kombinatorikai leszámolási problémák, Természetes számok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2003/december: B.3685 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy egy adott pontszámot hányszor érhetünk el a játék során, hogy ezzel felkerüljünk a listára. Azt állítjuk, hogy ha , akkor pontot legfeljebb -szer érhetünk el. Valóban, a játék folyamán egy adott pontszámnál nagyobb eredmények száma a listán nem csökken, és kezdetben darab -esnél jobb eredmény szerepel a táblázaton. A játék programja pedig úgy működik, hogy ezek mind megelőzik a mi pontunkat. Mivel 1-nél kisebb pontszámmal nem kerülhetünk a listára, míg 30-nál nagyobb pontszámból 30 játék elég, azért játékot mindenképpen le kell játszanunk ahhoz, hogy már csak a mi nevünk szerepeljen a listán. Most megmutatjuk, hogy ennyi játékra szükségünk is lehet, azaz alakulhat úgy a játékok sorozata, hogy csak a 465. játékkal foglaljuk el a teljes listát. Ha a fentiek szerint minden értékre éppen -szer érjük el a pontszámot, mégpedig növekvő sorrendben, majd ezek után harminc egymást követő alkalommal szerzünk 30-nál több pontot, akkor játékot játszottunk, és csak az utolsó játékunk után tűnik el valamennyi álnév a listáról. Legalább 465 játékot kell játszanunk, hogy biztosra menjünk, és ennyi elég is. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
II. megoldás. Pontosan akkor kerülünk fel a listára, ha az utolsó, 30. helyezettet megelőzzük. Ebből következik, hogy ha a lista változik, akkor a pontszámok összege legalább 1-gyel nő. Kezdetben ez az összeg 465. Ha 31-pontosnak tekintjük a 30-pontos fantázianevet megelőző eredményeinket, akkor amíg szerepel fantázianév a listán, az összpontszám nőni fog. 465 sikeres játékot követően az összpontszám legalább 930-ra nő, de , azaz ekkor 30-as pontszám már nem szerepelhet a listán. Azt, hogy 465 játékra szükség lehet, az előző megoldásban látottak szerint igazolhatjuk.
Megjegyzések. 1. A második megoldás gondolatmenetéből következik, hogy csak a második részben megadott játékeredmény-sorrendben lehet szükségünk 465 játékra, hiszen ha a pontszámösszeget nem 1-gyel növeljük valamelyik játék során, akkor előbb érjük el a 930-as határt. 2. A feladat statisztikája szerint kiemelkedően sok hiányos megoldás érkezett. A rengeteg 3-pontos dolgozat szerzői lényegében helyes megoldásuk első felét azzal a kijelentéssel gondolták letudni, hogy ,,elegendő a legrosszabb'' esetet vizsgálni: ,,amikor a lehető legrosszabb eredménnyel kerülünk fel''. Valóban ez a ,,legrosszabb'' eset, de hogy miért, arra éppen a 2. megoldás világít rá. Hiába ,,látszik szemléletesen'', ennek bizonyítása lényeges része a feladatnak. |
|