Kezdőlap


Feladat:	671. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bartók A. , Bizám György , Cseresnyés Zoltán , Csuri Vilmos , Fekete András , Fonó András , Fonó Péter , Gutmann Gy. , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Klein J. , Korzinek J. , Láng S. , Lőke Endre , Luncz Gy. , Nádler Miklós , Ozoróczy Gyula , Sándor Gyula , Takács Pál
Füzet:	1938/december, 100 - 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erőrendszer eredője, Koszinusztétel alkalmazása, Számtani közép
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 671. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a $p_{1}$ és $p_{2}$ erők $α$ szöget zárnak be, eredőjük: ${(p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} p_{2} cos α)}^{\frac{1}{2}} .$ A feladat követelménye:

\begin{matrix} {(p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} p_{2} cos α)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (p_{1} + p_{2}) ... \end{matrix}

(1)

Innen

\begin{matrix} cos α = \frac{1}{8} [2 - 3 (\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}})] ... \end{matrix}

(2)

Minthogy

\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} \geq 2

, azért

cos α < 0

, tehát

90^{\circ} < α < 180^{\circ}

. ^{$^{*}$}

Továbbá

\begin{matrix} - 1 \leq cos α \leq - \frac{1}{2} ... \end{matrix}

(3)

Ha ugyanis

\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}}

helyébe legkisebb értékét 2-t tesszük, akkor

cos α

legnagyobb értékét kapjuk. (3) alapján

\begin{matrix} 180^{\circ} \geq α \geq 120^{\circ} . \end{matrix}

Már most abból, hogy

cos α \geq - 1

, következik

\begin{matrix} \frac{1}{8} [2 - 3 (\frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}})] \geq - 1, ill. \frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} \leq \frac{10}{3} . \end{matrix}

Legyen

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{p_{2}} = x . \end{matrix}

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} \leq \frac{10}{3}, ill. x^{2} - \frac{10}{3} x + 1 \leq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenség megoldása:

\frac{1}{3} \leq x \leq 3

, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{3} \leq \frac{p_{1}}{p_{2}} \leq 3. \end{matrix}

Vizsgáljuk a határeseteket.

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{p_{2}} + \frac{p_{2}}{p_{1}} = 2, ha p_{1}^{2} + p_{2}^{2} - 2 p_{1} p_{2} = 0, azaz p_{1} = p_{2} = p . \end{matrix}

Ezen esetben

α = 120^{\circ}

és az eredő:

{(p^{2} + p^{2} - p^{2})}^{\frac{1}{2}} = p

.
Valóban:

\begin{matrix} p = \frac{1}{2} (p_{1} + p_{2}) . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{p_{2}} = 3, vagyis p_{1} = 3 p_{2}, akkor \\ cos α = \frac{1}{8} (2 - 3 \cdot \frac{10}{3}) = - 1, α = 180^{\circ} . \end{matrix}

Az eredő

{(p_{1}^{2} + p_{2}^{2} - 2 p_{1} p_{2})}^{\frac{1}{2}} = | p_{1} - p_{2} | = 2 p_{2} = \frac{1}{2} (3 p_{2} + p_{2})

Hajnal Miklós (izr. g. VIII. o. Bp.)

^{$^{*}$}Azt is mondhatjuk, hogy

90^{\circ} < α < 270^{\circ}

. Azonban, ha

180^{\circ} < α < 270^{\circ}

, akkor lényegileg ugyanazon helyzetek állnak elő, mint amikor

90^{\circ} < α < 180^{\circ}

, csak ellenkező forgás után.

^*Ugyanekkor $\frac{1}{3}$ $\leq$ $\frac{p_{2}}{p_{1}}$ $\leq$ 3.