Feladat: B.3772 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2006/február, 90. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: B.3772

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Célszerű a belső szögek helyett a külső szögekre térni, hiszen ezek könnyebben kezelhetők, lévén egy konvex sokszög külső szögeinek összege 360∘, másfelől a keresett párokra ezek eltérése is nyilván 1∘. Ekkor a

360k-360n=1(1)
egyenlet megoldásainak a számát keressük, ahol 3≤k<n egész számok.
Mivel a különbség második tagja pozitív, azért a kisebbítendő határozottan nagyobb 1-nél. Ha tehát m=360-k, akkor 0<m<360 pozitív egész. Az (1) egyenlet ekkor a
360360-m-360n=1
alakot ölti, ahonnan rendezés után az
m(n+360)=3602(2)
egyenletet kapjuk, ahonnan következik, hogy m a 3602 osztója.
Megfordítva, ha 0<m<360 és m∣3602, akkor m<358 (könnyen ellenőrizhető, hogy az m legnagyobb szóba jövő értéke 324) és ekkor a 3≤k=360-m, n=k⋅360m választással
360k-360n=360k-mk=360-mk=1.
Innen persze k<n is következik. Az is nyilvánvaló, hogy a 3602 különböző 360-nál kisebb osztói különböző (k;n) párokat szolgáltatnak, így a feladat megoldásához a 3602 azon osztóinak a számát kell megkeresnünk, amelyek kisebbek 360-nál.
Prímtényezők szorzatára bontva 3602=26⋅34⋅52. Az osztók száma tehát az ismert módon (6+1)(4+1)(2+1)=105. Közülük a 360-at elhagyva a megmaradt 104 osztó az ismert módon 52 párba rendezhető úgy, hogy minden egyes pár tagjai különbözők és a szorzatuk 3602. Így minden egyes párnak pontosan az egyik tagja kisebb, mint 360, a keresett osztók száma 52, ami egyúttal a válasz a feladat kérdésére.
 
Megjegyzés. Ellenőrizhető, hogy a legkisebb (k;n) párban k=36 és n=40 (az előbbi belső szöge 350∘, az utóbbié 351∘), a legnagyobbikban pedig k=359 és n=129240 (az előbbi belső szöge ≈358,997∘, az utóbbié ≈359,997∘).