A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Célszerű a belső szögek helyett a külső szögekre térni, hiszen ezek könnyebben kezelhetők, lévén egy konvex sokszög külső szögeinek összege , másfelől a keresett párokra ezek eltérése is nyilván . Ekkor a egyenlet megoldásainak a számát keressük, ahol egész számok. Mivel a különbség második tagja pozitív, azért a kisebbítendő határozottan nagyobb 1-nél. Ha tehát , akkor pozitív egész. Az (1) egyenlet ekkor a alakot ölti, ahonnan rendezés után az egyenletet kapjuk, ahonnan következik, hogy a osztója. Megfordítva, ha és , akkor (könnyen ellenőrizhető, hogy az legnagyobb szóba jövő értéke 324) és ekkor a , választással | | Innen persze is következik. Az is nyilvánvaló, hogy a különböző -nál kisebb osztói különböző párokat szolgáltatnak, így a feladat megoldásához a azon osztóinak a számát kell megkeresnünk, amelyek kisebbek 360-nál. Prímtényezők szorzatára bontva . Az osztók száma tehát az ismert módon . Közülük a -at elhagyva a megmaradt osztó az ismert módon párba rendezhető úgy, hogy minden egyes pár tagjai különbözők és a szorzatuk . Így minden egyes párnak pontosan az egyik tagja kisebb, mint , a keresett osztók száma 52, ami egyúttal a válasz a feladat kérdésére.
Megjegyzés. Ellenőrizhető, hogy a legkisebb párban és (az előbbi belső szöge , az utóbbié ), a legnagyobbikban pedig és (az előbbi belső szöge , az utóbbié ). |