Kezdőlap


Feladat:	3811. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csire Gábor , Kónya Gábor
Füzet:	2006/január, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő), Egyéb súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: 3811. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel a töltött részecske mozgásegyenletét mágneses tér és a sebességgel arányos fékezőerő jelenlétében a részecske $\vec{v}$ sebességvektora és az $\vec{r}$ helyvektora segítségével:

\begin{matrix} m \frac{Δ \vec{v}}{Δ t} = q \frac{Δ \vec{r}}{Δ t} \times \vec{B} - k \frac{Δ \vec{r}}{Δ t} . \end{matrix}

Ezt az egyenlet (melyben

q

a részecske töltése,

m

a tömege,

\vec{B}

a mágneses térerősség,

k

pedig egy állandó) a mozgás kicsiny,

Δ t

hosszúságú időintervallumaira írtuk fel, de úgy is érvényes, ha

Δ t

-vel megszorozzuk, majd összegezzük a mozgásegyenleteket:

\begin{matrix} m \sum Δ \vec{v} = q (\sum Δ \vec{r}) \times \vec{B} - k \sum Δ \vec{r} . \end{matrix}

(1)

Az fenti egyenlet bal oldalán a sebességváltozások összege éppen a részecske kezdősebességének

(- 1)

-szerese, a jobb oldalon szereplő összeg pedig a részecske (a súrlódásos tartományba lépéstől a megállásáig megtett) teljes elmozdulásvektora:

\begin{matrix} \sum Δ \vec{v} = - {\vec{v}}_{0}, \sum Δ \vec{r} = \vec{s}, \end{matrix}

ezekkel a jelölésekkel a mozgásegyenletek összege így írható:

\begin{matrix} m {\vec{v}}_{0} = - q \vec{s} \times \vec{B} + k \vec{s} . \end{matrix}

(2)

Amikor nincs mágneses tér, a részecske

| \vec{s_{1}} | = s_{1} = 10

cm út megtétele után áll meg, tehát (2) alapján

\begin{matrix} m v_{0} = k s_{1} . \end{matrix}

(3)

Ha a részecske (ugyanekkora kezdősebességgel indulva)

| \vec{B} | = B

erősségű mágneses mezőben mozog, és a megállásáig

| \vec{s_{2}} | = s_{2} = 6

cm utat tesz meg, (2) szerint fennáll

\begin{matrix} {(m v_{0})}^{2} = {(q s_{2} B)}^{2} + {(k s_{2})}^{2} . \end{matrix}

(4)

(Kihasználtuk, hogy

\vec{s}

és

\vec{s} \times \vec{B}

egymásra merőlegesek, a (2) egyenletben szereplő tagok tehát egy derékszögű háromszög oldalait alkotó vektorok.)
Végül a kétszeres (tehát

2 B

erősségű mágneses mezőben a részecske megállásáig megtett

\vec{s_{3}}

) nagyságára fennáll:

\begin{matrix} {(m v_{0})}^{2} = {(2 q s_{3} B)}^{2} + {(k s_{3})}^{2} . \end{matrix}

(5)

A (3), (4) és (5) összefüggéseket egybevetve a keresett távolságra

\begin{matrix} s_{3} = \frac{s_{1} s_{2}}{\sqrt[]{4 s_{1}^{2} - 3 s_{2}^{2}}} = \frac{30}{\sqrt[]{73}} cm = 3, 51 cm \end{matrix}

adódik.