Feladat: B.3800 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beck Zoltán ,  Blázsik Zoltán 
Füzet: 2006/január, 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valószínűségszámítás - Statisztika, Klasszikus valószínűség, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: B.3800

Egy kocka minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A valószínűség meghatározásához tudnunk kell, hogy összesen hányféleképpen mehetnek a hangyák és ebből hány esetben találkoznak. Az összes eset száma könnyen meghatározható: minden hangya 3 irányban indulhat el, 8 hangya van, ez 38 lehetőség. Annak összeszámolása, hogy hány esetben találkoznak a hangyák, elég reménytelennek néz ki. Ilyenkor segíthet, ha a többi lehetőség számát határozzuk meg, azaz most azt, hogy hány esetben nem találkoznak a hangyák.
Ha a hangyák nem találkoznak az út végén, az azt jelenti, hogy megint minden csúcsban 1 hangya lesz. Ha megjelölnénk nyilakkal, hogy honnan hová mennek a hangyák, akkor minden csúcsból indulna ki egy nyíl, és minden csúcsba mutatna 1 nyíl. Azt is tudjuk, hogy két hangya nem megy egymással szemben, tehát egy élen legfeljebb 1 nyíl futhat. Mindebből az következik, hogy a hangyák ,,menetelésük'' során egy vagy több, önmagába záródó, kettőnél nagyobb hosszúságú utat (kört) határoznak meg. Ez a kockán csak úgy valósulhat meg, ha két 4, vagy ha egy 8 hosszúságú körről van szó.

 
 

Egy 8 hosszúságú kört egyértelműen meghatároz az a két szemközti lap, amelyiken 2‐2 nyíl van, és az, hogy ezek melyik két élen futnak. A menetelés két irányba is történhet, tehát ez eddig 322=12 lehetőség.
A két 4 hosszúságú kör kiválasztására szintén 322=12 lehetőség van, hiszen 3-féleképpen választható ki, hogy melyik két szemközti oldalon legyenek a körök, illetve mindkét kör esetén 2 irányban történhet a menetelés.
Összesen tehát 24 esetben nem találkoznak a hangyák, a keresett valószínűség tehát 38-24380,9963.