Kezdőlap


Feladat:	B.3827	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szudi László
Füzet:	2005/december, 543. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: B.3827

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $C$ és $D$ pontok az $A B$ egyenes különböző oldalain helyezkednek el, mert ellenkező esetben az $A D$ és az $A C$ szakaszok egyszerre nem érinthetnék a megfelelő köröket.

Megmutatjuk, hogy az

A B C

és a

D B A

háromszögek hasonlóak.

A C B ∢ = D A B ∢

, mert az

A B C

háromszög köré írt körben mindkettő a

C

pontot nem tartalmazó

A B

ívhez tartozó (közönséges, illetve érintőszárú) kerületi szög. Ugyanígy látható be (az

A B D

háromszög köré írt kör

D

-t nem tartalmazó

A B

ívéhez tartozó kerületi szögeket vizsgálva), hogy

A D B ∢ = B A C ∢

. A két háromszög megfelelő szögei tehát megegyeznek, azért a megfelelő oldalaik aránya is egyenlő:

\begin{matrix} \frac{A C}{B C} = \frac{A D}{A B} és \frac{A C}{A B} = \frac{A D}{B D} . \end{matrix}

E két egyenlőséget összeszorozva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A C^{2}}{B C \cdot A B} = \frac{A D^{2}}{A B \cdot B D}, \end{matrix}

amit rendezve adódik a bizonyítandó

A C^{2} \cdot B D = A D^{2} \cdot B C

egyenlőség.