Kezdőlap


Feladat:	B.3815	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/december, 541 - 542. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: B.3815

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a sík $S$ . Mivel $S$ minden $P_{i} P_{i + 1}$ szakaszt belső pontban metsz, azért a $P_{i}$ pontok közül egyiken sem megy át. Legyen $T_{i}$ a $P_{i}$ pont $S$ -en lévő merőleges vetülete. Ekkor a $P_{i} P_{i + 1}$ szakasz merőleges vetülete $T_{i} T_{i + 1}$ , ezért $T_{i} T_{i + 1}$ átmegy $Q_{i}$ -n és

\begin{matrix} P_{i} Q_{i} T_{i} ∢ = P_{i + 1} Q_{i} T_{i + 1} ∢ . \end{matrix}

Tehát a

P_{i} Q_{i} T_{i}

és a

P_{i + 1} Q_{i} T_{i + 1}

derékszögű háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

\begin{matrix} \frac{P_{i} T_{i}}{P_{i} Q_{i}} = \frac{P_{i + 1} T_{i + 1}}{P_{i + 1} Q_{i}}, vagyis \frac{P_{i} T_{i}}{P_{i + 1} T_{i + 1}} = \frac{P_{i} Q_{i}}{P_{i + 1} Q_{i}} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \frac{P_{1} Q_{1}}{Q_{1} P_{2}} \cdot \frac{P_{2} Q_{2}}{Q_{2} P_{3}} \cdot ... \cdot \frac{P_{n - 1} Q_{n - 1}}{Q_{n - 1} P_{n}} \cdot \frac{P_{n} Q_{n}}{Q_{n} P_{1}} = \frac{P_{1} T_{1}}{P_{2} T_{2}} \cdot \frac{P_{2} T_{2}}{P_{3} T_{3}} \cdot ... \cdot \frac{P_{n - 1} T_{n - 1}}{P_{n} T_{n}} \cdot \frac{P_{n} T_{n}}{P_{1} T_{1}} = 1, \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó állítás.