Kezdőlap


Feladat:	C.814	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kiss-Tóth Annamária
Füzet:	2005/december, 532. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: C.814

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Fejezzük ki (1)-ből $(x + z)$ -t és írjuk be (2)-be a kapott kifejezést.

\begin{matrix} x + z = t - y, & (1') \\ t - y + (t + 1) y = 0. \end{matrix}

Innen

t - y + t y + y = 0

, azaz

t y = - t

. Ha

t \neq 0

, akkor

y = - 1

(1')

-ből (

y = - 1

-et beírva)

x = t + 1 - z

. Helyettesítsünk (3)-ba:

\begin{matrix} t + 1 - z - 1 - (t + 1) z = 2 t; \end{matrix}

t \neq - 2

, akkor

z = \frac{- t}{t + 2}

, és

\begin{matrix} x = t + 1 + \frac{t}{t + 2} = \frac{t^{2} + 4 t + 2}{t + 2} . \end{matrix}

Mivel végig azonos átalakításokat végeztünk, a kapott értékek valóban gyökei az egyenletrendszernek.
Ha

t = 0

, akkor az egyenletrendszer a következő:

\begin{matrix} x + y + z & = 0, \\ x + y + z & = 0, \\ x + y - z & = 0. \end{matrix}

Ekkor

x = - y

és

z = 0

. Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.
Ha

t = - 2

, akkor

\begin{matrix} x + y + z & = - 2, & (1'') \\ x - y + z & = 0, & (2'') \\ x + y + z & = - 4. & (3'') \end{matrix}

Az egyenletrendszernek ekkor nincs megoldása, az

(1'')

és

(3'')

egyenlet ellentmond egymásnak.