Kezdőlap


Feladat:	C.813	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/december, 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Beírt alakzatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: C.813

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

A B C D

téglalapban

A B = 10

. A beírt téglalap az

A B

oldalt az

E

, a

B C

oldalt az

F

, a

D A

oldalt a

G

pontban érinti. Az

A G E

derékszögű háromszögben

G E = 1

, az

A E

szakaszt jelöljük

x

-szel, az

A G E

szöget

α

-val. Az

E B F

derékszögű háromszögben

F E B ∢ = α

(merőleges szárú szögek),

E B = 10 - x

és

B F = y

. Az

A G E

háromszögben

G A = \sqrt[]{1 - x^{2}}

, és

sin α = x

, a

B E F

háromszögben

cos α = \frac{10 - x}{10}

. Tudjuk, hogy

\begin{matrix} x^{2} + {(\frac{10 - x}{10})}^{2} = 1. \end{matrix}

Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy

101 x^{2} = 20 x

, s mivel

x \neq 0

, egyszerűsíthetünk, és így

sin α = x = \frac{20}{101} \approx 0, 198

. Az

E B F

háromszögből

\frac{y}{10} = sin α \approx 0, 198

, innen

y \approx 1, 98

. A keresett oldal hossza

\begin{matrix} C B = y + C F = y + G A = y + \sqrt[]{1 - x^{2}} \approx 1, 98 + 0, 98 = 2, 96 cm. \end{matrix}