Kezdőlap


Feladat:	C.811	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/december, 530. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: C.811

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egymást követő egész számok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, amelyben a különbség 1. A keresett sorozat első tagját jelöljük $a$ -val, és a tagok számát jelölje $n$ . Az ismert összegképlet szerint:

\begin{matrix} 100 = \frac{n}{2} (a + a + (n - 1) 1) . \end{matrix}

Rendezve kapjuk, hogy

n^{2} + 2 a n - n = 200

, azaz (

n

-et kiemelve) 200-at kell két tényezőre bontanunk:

\begin{matrix} n (n + 2 a - 1) = 200. \end{matrix}

n = 1

, akkor a sorozatnak egyetlen tagja van, s ez a 100.
Az

n

és az

n + 2 a - 1

paritása különböző, ezért 200-nak csak olyan felbontásait kell vizsgálnunk, amelyikben az egyik tényező páros, a másik páratlan. Ezek:

8 \cdot 25

40 \cdot 5

és

200 \cdot 1

. Ez utóbbi esetet

n = 1

-re már megvizsgáltuk.

\begin{matrix} Ha & n = 8, & akkorn + 2 a - 1 = 25 & és & a = 9, \\ n = 40, & akkorn + 2 a - 1 = 5 & és & a = - 17, \\ n = 200, & akkorn + 2 a - 1 = 1 & és & a = - 99, \\ n = 25, & akkorn + 2 a - 1 = 8 & és & a = - 8, \\ n = 5, & akkorn + 2 a - 1 = 40 & és & a = 18. \end{matrix}

A feltételnek a következő sorozatok tesznek eleget:

\begin{matrix} \begin{matrix} 100 & n = 1, \\ 18, 19, 20, 21, 22 & n = 5, \\ 9, 10, 11, ..., 16 & n = 8, \\ - 8, - 7, - 6, ..., 16 & n = 25, \\ - 17, - 16, - 15, ..., 22 & n = 40, \\ - 99, - 98, - 97, ..., 100 & n = 200. \end{matrix} \end{matrix}