Kezdőlap


Feladat:	C.808	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/december, 529. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egészrész, törtrész függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: C.808

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a ${3 x}$ és a ${x}$ függvény értékek is az $x$ és $x + 1$ helyeken megegyeznek, elegendő az egyenletet a $0 \leq x < 1$ intervallumban vizsgálni. Három esetet különböztetünk meg.
1) Ha $0 \leq x < \frac{1}{3}$ , akkor a függvény ${(3 x)}^{2} + x^{2}$ , azaz az

\begin{matrix} 9 x^{2} + x^{2} = 1 \end{matrix}

egyenletet kell megoldani. Ekkor a megoldás

x = \frac{1}{\sqrt[]{10}}

, s ez valóban az adott intervallumba esik.
2) Ha

\frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{3}

, akkor a függvény

{(3 x - 1)}^{2} + x^{2}

, az egyenlet pedig

\begin{matrix} 9 x^{2} = 6 x + 1 + x^{2} = 1, \end{matrix}

ahonnan

10 x^{2} = 6 x

és

x = \frac{3}{5}

. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez is a kijelölt intervallumba esik.
3) Ha

\frac{2}{3} \leq x < 1

, akkor a függvény

{(3 x - 2)}^{2} + x^{2}

és a megoldandó egyenlet:

\begin{matrix} 10 x^{2} - 12 x + 3 = 0. \end{matrix}

Innen

x = \frac{6 \pm \sqrt[]{6}}{10}

. Az

x_{1} = \frac{6 + \sqrt[]{6}}{10} \approx 0, 8449

a megfelelő intervallumba esik,

x_{2} = \frac{6 - \sqrt[]{6}}{10} \approx 0, 3551

viszont nem.
Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van: minden egész

n

-re az

[n, n + 1)

intervallumban három:

\begin{matrix} n + \frac{1}{\sqrt[]{10}}, n + \frac{3}{5} és n + \frac{6 + \sqrt[]{6}}{10} . \end{matrix}