Kezdőlap


Feladat:	C.807	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dobos Gergely
Füzet:	2005/december, 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: C.807

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B C D$ négyszögben $A B = 2$ , $B C = 1$ és $A B C ∢ = 60^{\circ}$ . Jelölje az $A D$ oldalt $x$ ; legyen $C D = y$ és $A C = d$ .

Mivel a négyszög érintőnégyszög,

\begin{matrix} 1 + x = 2 + y, \end{matrix}

innen

y = x - 1

. Mivel

A B C D

húrnégyszög is,

A D C ∢ = 120^{\circ}

. Írjuk fel az

A C D

háromszögre a koszinusz-tételt:

\begin{matrix} d^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 120^{\circ} . \end{matrix}

y

és

cos 120^{\circ}

értékeket behelyettesítve:

\begin{matrix} d^{2} = x^{2} + {(x - 1)}^{2} - 2 x (x - 1) \cdot (- \frac{1}{2}) . \end{matrix}

(1)

d^{2}

értékét az

A B C

háromszögből számíthatjuk ki, ugyancsak a koszinusz-tétel felhasználásával:

d^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}

, innen

d^{2} = 3

, ezt behelyettesítve (1)-be a következő másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 3 x^{2} - 3 x - 2 = 0, \end{matrix}

ahonnan

x = \frac{\sqrt[]{33} + 3}{6} \approx 1, 457

, a négyszög másik oldala pedig

y \approx 0, 457

egység.