Feladat: C.806 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2005/december, 527 - 528. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Oszthatóság, Mértani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: C.806

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel a keresett számot a tízes számrendszerben a szokásos módon:

10n+10n-1+...+10︸+5,
és vegyük észre, hogy ez az utolsó tagtól eltekintve egy olyan mértani sorozat összege, melynek első eleme és hányadosa 10.
Az ismert összegképletet felhasználva kapjuk, hogy
Sn=10⋅10n-19=10n+1-109.
Kérdés, hogy 7 mikor osztója Sn+5-nek.
Sn+5=10n+1-109+5=10n+1+359.
A 35 többszöröse a 7-nek, a 10n+1 törzstényezős felbontásában viszont sohasem szerepel 7. A feltételnek eleget tevő pozitív egész szám tehát nem létezik.