Kezdőlap


Feladat:	C.787	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ruppert Dániel
Füzet:	2005/december, 522. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: C.787

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Szorozzunk a pozitív $x y$ -nal. Kapjuk, hogy

\begin{matrix} (x + y) \sqrt[]{x y} \leq x^{2} + y^{2} . \end{matrix}

Felhasználva a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} (x + y) \sqrt[]{x y} \leq (x + y) \frac{x + y}{2} = \frac{{(x + y)}^{2}}{2} . \end{matrix}

Azt állítjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{{(x + y)}^{2}}{2} \leq x^{2} + y^{2} . \end{matrix}

Végezzük el a műveleteket:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2}), 0 \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x y) = {(x - y)}^{2}, \end{matrix}

ami egy igaz állítás. Ebből következik az eredeti egyenlőtlenség igaz volta is, mivel

x y

-nal szorozva ekvivalens átalakítást végeztünk.