Kezdőlap


Feladat:	C.774	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dudás Ádám
Füzet:	2005/december, 520 - 521. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/szeptember: C.774

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes abszolút értéken belül álló kifejezések mikor váltanak előjelet:
$x - y$ előjelet vált, ha $x - y = 0$ , azaz ha $x = y$ .
$x + y$ pedig akkor vált előjelet, ha $x + y = 0$ , vagyis ha $y = - x$ .
Ábrázoljuk a két egyenest. Ezek a koordináta síkot 4 részre osztják. Az 1. ábrán egy ilyen részt satíroztunk be, legyen ez az $A$ síkrész. Ennek pontjaira fenn kell állnia az $(x + y) + (x - y) \leq 4$ egyenlőtlenségnek, ami akkor teljesül, ha $2 x \leq 4$ , $0 \leq x \leq 2$ .

1. ábra

Tovább haladva pozitív irányban a következő síkrész

B

. Most

\begin{matrix} (x + y) - (x - y) \leq 4, innen 0 \leq y \leq 2. \end{matrix}

C

síknegyedben

- (x + y) - (x - y) \leq 4

, azaz

0 \geq x \geq - 2

, végül a

D

síkrészben

- (x + y) + (x - y) \leq 4

, azaz

0 \geq y \geq - 2

.
A pontok egyesítésével egy 4 élhosszúságú (a 2. ábrán látható) négyzetet kapunk, melynek 16 területegység a területe.

2. ábra