A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Vizsgáljuk meg, mikor lehet egy téglalapot a feladat előírásai szerint két részre vágni. A vágás nyilván párhuzamos a téglalap egyik oldalával, legyen ennek hossza , a másik oldal hossza pedig , amelyet a hosszúságú vágás az , részekre oszt (1. ábra). Két téglalap pontosan akkor hasonló, ha a merőleges oldalaik aránya egyenlő, így vagy , vagy pedig . A feltétel szerint a részek nem egybevágók, így csak a második eset valósulhat meg. Az 1. ábra szerint , ami azt jelenti, hogy az és az derékszögű háromszögek is hasonlók. A szögeket egybevetve innen adódik ‐ ez lényegében a magasságtétel megfordítása. Mivel és , a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint az is következik, hogy . Egy adott módon felbontható téglalap hosszabb és rövidebb oldalának az aránya tehát nagyobb 2-nél. Hívjuk a továbbiakban az ilyen téglalapokat vékonynak.
1. ábra Ez a feltétel elégséges is a megfelelő felbontás létezéséhez. Egy vékony téglalap hosszabbik oldalának a Thalesz köre ugyanis két pontban metszi a szemközti oldalt (2. ábra). A magasságtétel szerint ezek bármelyikén keresztül a rövidebbik oldallal párhuzamos egyenes két hasonló részre vágja a téglalapot, amelyek nem egybevágók. Az eljárás akkor folytatható, ha az így adódó hasonló részek maguk is vékonyak.
2. ábra Ha az eljárás korlátlanul folytatható, akkor vékony téglalapok egymásba skatulyázott sorozatát kapjuk. Ez a sorozat persze nem egyértelmű. Egy adott részt alkalmas módon felosztó két vágás bármelyikét megejthetjük, illetve a kapott hasonló részek bármelyikében folytathatjuk a felosztást. A két párhuzamos vágással kapott felosztással azonban egybevágó, a hosszabbik oldalának tengelyére szimmetrikus ábrákat kapunk, ha pedig mindkét résztéglalapban megrajzolunk egy-egy osztóvonalat, akkor a felosztott részek is hasonlók maradnak (3. ábrák).
3a. ábra 3b. ábra Ha tehát valóban korlátlanul folytatható az eljárás, akkor ez úgy is megtehető, hogy a téglalap rövidebbik oldalával párhuzamosan vékony téglalapok sorozatát vágjuk le -ból. Az vágás az éppen szétvágandó résztéglalap hosszabbik oldala Thalész körének a szemközti oldallal adódó két metszéspontja közül a csúcstól távolabbin keresztül halad (4. ábra), miközben természetesen a másik rész, az téglalap is vékony. Ekkor a szerkesztés miatt és . A két szakasz nagyobbika, így a szakaszok mértani közepénél, -nél is nagyobb, a vékony téglalapban továbbra is a nagyobbik oldal.
4. ábra Innen már látszik, hogy az eljárás nem folytatható korlátlanul. Valóban, ha az szorzat állandó, miközben egyik tényezője, csökken, akkor a másik tényező, növekszik. Az szakaszból tehát mind nagyobb részeket vágunk le, miközben a megmaradó szakasz minden egyes lépés után nagyobb marad, mint . Ez nyilván nem lehetséges, a keresett tulajdonságú téglalap nem létezik. |