Kezdőlap


Feladat:	B.3768	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Károlyi Márton
Füzet:	2005/október, 408 - 409. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Hasonlósági transzformációk, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: B.3768

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, mikor lehet egy $T_{0}$ téglalapot a feladat előírásai szerint két részre vágni. A vágás nyilván párhuzamos a téglalap egyik oldalával, legyen ennek hossza $b$ , a másik oldal hossza pedig $a$ , amelyet a $b$ hosszúságú vágás az $a_{1}$ , $a'_{1}$ részekre oszt (1. ábra). Két téglalap pontosan akkor hasonló, ha a merőleges oldalaik aránya egyenlő, így vagy $\frac{a_{1}}{b} = \frac{a_{1}'}{b}$ , vagy pedig $\frac{b}{a_{1}} = \frac{a_{1}'}{b}$ . A feltétel szerint a részek nem egybevágók, így csak a második eset valósulhat meg. Az 1. ábra szerint $\frac{F E}{E A} = \frac{E B}{E F}$ , ami azt jelenti, hogy az $A E F$ és az $F E B$ derékszögű háromszögek is hasonlók. A szögeket egybevetve innen $A F B ∢ = 90^{\circ}$ adódik ‐ ez lényegében a magasságtétel megfordítása. Mivel $b^{2} = a_{1}^{} a_{1}'$ és $a_{1}^{} \neq a_{1}'$ , a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint az is következik, hogy $a = a_{1}^{} + a_{1}' > 2 \sqrt[]{a_{1}^{} a_{1}'} = 2 b$ . Egy adott módon felbontható $T_{0}$ téglalap hosszabb és rövidebb oldalának az aránya tehát nagyobb 2-nél. Hívjuk a továbbiakban az ilyen téglalapokat vékonynak.

1. ábra

Ez a feltétel elégséges is a megfelelő felbontás létezéséhez. Egy vékony téglalap hosszabbik oldalának a Thalesz köre ugyanis két pontban metszi a szemközti oldalt (2. ábra). A magasságtétel szerint ezek bármelyikén keresztül a rövidebbik oldallal párhuzamos egyenes két hasonló részre vágja a téglalapot, amelyek nem egybevágók. Az eljárás akkor folytatható, ha az így adódó hasonló részek maguk is vékonyak.

2. ábra

Ha az eljárás korlátlanul folytatható, akkor vékony téglalapok egymásba skatulyázott sorozatát kapjuk. Ez a sorozat persze nem egyértelmű. Egy adott részt alkalmas módon felosztó két vágás bármelyikét megejthetjük, illetve a kapott hasonló részek bármelyikében folytathatjuk a felosztást. A két párhuzamos vágással kapott felosztással azonban egybevágó, a

T_{0}

hosszabbik oldalának tengelyére szimmetrikus ábrákat kapunk, ha pedig mindkét résztéglalapban megrajzolunk egy-egy osztóvonalat, akkor a felosztott részek is hasonlók maradnak (3. ábrák).

3a. ábra

3b. ábra

Ha tehát valóban korlátlanul folytatható az eljárás, akkor ez úgy is megtehető, hogy a

T_{0} = A_{0} B C D_{0}

téglalap rövidebbik oldalával párhuzamosan vékony téglalapok

A_{i - 1} A_{i} D_{i} D_{i - 1}

sorozatát vágjuk le

T_{0}

-ból. Az

A_{i} D_{i}

vágás az éppen szétvágandó

T_{i} = A_{i - 1} B C D_{i - 1}

résztéglalap hosszabbik

A_{i - 1} B

oldala Thalész körének a szemközti oldallal adódó két metszéspontja közül a

C

csúcstól távolabbin keresztül halad (4. ábra), miközben természetesen a másik rész, az

A_{i} B C D_{i}

téglalap is vékony. Ekkor a szerkesztés miatt

A_{i - 1} A_{i} \cdot A_{i} B = A_{i} D_{i}^{2} = b^{2}

és

A_{i - 1} A_{i} < A_{i} B

. A két szakasz nagyobbika,

A_{i} B

így a szakaszok mértani közepénél,

b

-nél is nagyobb, a vékony

A_{i} B C D_{i}

téglalapban továbbra is

A_{i} B

a nagyobbik oldal.

4. ábra

Innen már látszik, hogy az eljárás nem folytatható korlátlanul. Valóban, ha az

A_{i - 1} A_{i} \cdot A_{i} B

szorzat állandó, miközben egyik tényezője,

A_{i} B

csökken, akkor a másik tényező,

A_{i - 1} A_{i}

növekszik. Az

A B = A_{0} B

szakaszból tehát mind nagyobb részeket vágunk le, miközben a megmaradó

A_{i} B

szakasz minden egyes lépés után nagyobb marad, mint

2 b

. Ez nyilván nem lehetséges, a keresett tulajdonságú

T_{0}

téglalap nem létezik.