Kezdőlap


Feladat:	C.804	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2005/október, 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: C.804

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A mértani sorozat első eleme $a_{1} = 6$ . A sorozat hányadosa nem 1, hiszen akkor az első $n$ elemének összege: $\frac{45}{4} = 6 n$ , azaz $n = \frac{45}{24}$ lenne, ami nem egész. Az ismert képlet szerint: $S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ , azaz

\begin{matrix} 6 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = \frac{45}{4} . \end{matrix}

Rendezzük az egyenletet:

\begin{matrix} q^{n} - 1 = \frac{15}{8} (q - 1) . \end{matrix}

(1)

Ismeretes, hogy egy mértani sorozat elemeinek reciprokai is mértani sorozatot alkotnak. Ennek hányadosa

\frac{1}{q}

, így a feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{5}{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{{(\frac{1}{q})}^{n} - 1}{\frac{1}{q} - 1} . \end{matrix}

Végezzük el a kijelölt műveleteket. Rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} q^{n} - 1 = 15 (q^{n} - q^{n - 1}) . \end{matrix}

(2)

Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből

(q^{n} - 1)

-re kapott kifejezést:

\begin{matrix} \frac{15}{8} (q - 1) = 15 (q^{n} - q^{n - 1}) = 15 q^{n - 1} (q - 1) . \end{matrix}

Osztva a

15 (q - 1) \neq 0

-val:

\frac{1}{8} = q^{n - 1}

, innen

q^{n} = \frac{1}{8} q

. Ezt (1)-be beírva kapjuk, hogy

\frac{1}{8} q - 1 = \frac{15}{8} (q - 1)

, ahonnan

q = \frac{1}{2}

és

{(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1}{16}

-ból

n = 4

.
Az első sorozat elemei:

6

3

\frac{3}{2}

\frac{3}{4}

; ezek összege valóban

\frac{45}{4}

.
A második sorozat elemei:

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{4}{3}

és

\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}