Kezdőlap


Feladat:	C.803	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Veres Gábor Pál
Füzet:	2005/október, 406 - 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: C.803

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük az (1) egyenletet, majd emeljük négyzetre:

\begin{matrix} \sqrt[]{7 x + y} = 6 - \sqrt[]{x + y}, \\ 7 x + y = 36 - 12 \sqrt[]{x + y} + x + y . \end{matrix}

Innen

\sqrt[]{x + y} = \frac{6 - x}{2}

. A négyzetgyökvonás definíciója értelmében

\frac{6 - x}{2} \geq 0

, azaz

x \leq 6

. A

\sqrt[]{x + y}

most kapott értékét helyettesítsük be a (2) egyenletbe:

\begin{matrix} \frac{6 - x}{2} - y + x & = 2. \end{matrix}

Innen

x = 2 y - 2

. Helyettesítsünk újra (2)-be:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 y - 2 + y} - y + 2 y - 2 = 2. \end{matrix}

Rendezés és négyzetre emelés után a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} y^{2} - 11 y + 18 = 0. \end{matrix}

Ebből

y_{1} = 9

és

x_{1} = 16

, vagy

y_{2} = 2

és

x_{2} = 2

. A feltétel szerint

x \leq 6

, emiatt csak az

x_{2} = 2

y_{2} = 2

lehet megoldása az egyenletnek. Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ez valóban megoldás is.