Kezdőlap


Feladat:	C.801	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek hasonlósága, Téglalapok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: C.801

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az adott alakú téglalapot többféleképpen is elhelyezhetjük a háromszögben. Legegyszerűbb eset az, amikor a téglalap oldalai párhuzamosak a háromszög befogóival:

A háromszög csúcsai

A

B

és

C

A C = 4

B C = 3

A B = 5

egység. A téglalap csúcsai

C

D

E

és

F

az ábra szerint. Az

A B C

és

A E D

derékszögű háromszögek hasonlóságából az első esetben

\frac{4 - 3 x}{4} = \frac{x}{3}

, és innen

12 - 9 x = 4 x

x = \frac{12}{13}

és

3 x = \frac{36}{13}

.
A második esetben

\frac{4 - x}{4} = \frac{3 x}{3}

;

x = \frac{4}{5}

és

3 x = \frac{12}{5}

.
A másik lehetőség az, amikor a téglalap egyik oldala merőleges az átfogóra:

A keletkezett derékszögű háromszögek mind hasonlók, mert megfelelő szögeik egyenlők. Az első esetben:

\frac{v}{x} = \frac{5}{3}

v = \frac{5}{3} x

;

\frac{4 - v}{3 x} = \frac{4}{5}

4 - v = \frac{12}{5} x

; ezért

\begin{matrix} \frac{5}{3} x + \frac{12}{5} x = 4, innen x = \frac{60}{61}, 3 x = \frac{180}{61} . \end{matrix}

A második esetben:

\frac{v}{3 x} = \frac{5}{3}

v = 5 x

;

\frac{4 - v}{x} = \frac{4}{5}

4 - v = \frac{4}{5} x

; ezért

\begin{matrix} 5 x + \frac{4}{5} x = 4, innen x = \frac{20}{29}, 3 x = \frac{60}{29} . \end{matrix}