Kezdőlap


Feladat:	B.3769	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/szeptember, 348 - 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: B.3769

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tudjuk, hogy ha az ellipszis egyik fókuszát tükrözzük az ellipszis egy érintőjére, akkor a másik fókuszhoz tartozó vezérkör egy pontját kapjuk (9. következmény). Ha tehát $F$ -nek az $e_{i}$ egyenesre vonatkozó tükörképe $F'_{i}$ $(i = 1,2,3)$ , akkor az $F'_{1} F'_{2} F'_{3}$ háromszög köré írható körének középpontja $S$ . Tehát $S$ -et megkaphatjuk úgy, hogy $F$ -et tükrözzük az adott érintőkre, majd pedig megszerkesztjük a tükörképek által meghatározott háromszög köré írt kör középpontját (1. ábra).

1. ábra

II. megoldás. Tudjuk, hogy ha az ellipszis fókuszaiból merőlegeseket állítunk az ellipszis érintőire, akkor a merőlegesek talppontjai rajta vannak a főkörön (13. tétel). Ha tehát az

F

-ből az

e_{i}

egyenesre állított merőleges talppontja

T_{i}

(i = 1,2,3)

, akkor a

T_{1} T_{2} T_{3}

háromszög köréírt köre az ellipszis főköre. Mivel az ellipszis két fókusza egymásnak a főkör középpontjára (az ellipszis szimmetriaközéppontjára) vonatkozó tükörképe,

S

-et megkaphatjuk úgy, hogy

F

-ből merőlegeseket állítunk az adott érintőkre, megszerkesztjük a merőlegesek talppontjai által meghatározott háromszög köré írt kör középpontját, majd pedig

F

-et tükrözzük erre a pontra (2. ábra).

2. ábra

A feladatnak vagy egy megoldása van, vagy pedig nincs megoldása. A leírt módon szerkesztett

S

pont egyértelműen létezik (kivéve azt az esetet, amikor az

F_{i}

pontok egy egyenesre esnek), azonban az

F

és

S

fókuszú, az

e_{i}

egyeneseket érintő kúpszelet nemcsak ellipszis, hanem hiperbola is lehet.