Kezdőlap


Feladat:	B.3757	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bittner Emese , Radó Márta
Füzet:	2005/szeptember, 346 - 347. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Körérintők, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: B.3757

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltehetjük, hogy $A$ közelebb van az $E_{1} E_{2}$ egyeneshez, mint $B$ . Tükrözzük $A$ -t $E_{1} E_{2}$ -re, legyen a tükörkép $A'$ . Ekkor az $A E_{1} E_{2}$ és az $A' E_{1} E_{2}$ háromszögek egybevágóak, ezért a körülírt köreik sugara egyenlő. Megmutatjuk, hogy az $A' E_{1} E_{2}$ háromszög körülírt körén $B$ is rajta van.

Legyen

E_{i} B A ∢ = β_{i}

(i = 1,2)

. Ekkor

β_{i}

k_{i}

körben az

E_{i} A

húrhoz tartozó kerületi szög, ami megegyezik az ugyanezen húrhoz tartozó érintőszárú kerületi szöggel, tehát

E_{2} E_{1} A ∢ = β_{1}

és

E_{1} E_{2} A ∢ = β_{2}

. Mivel az

E_{1} A E_{2}

háromszög szögeinek összege

180^{\circ}

\begin{matrix} E_{1} A E_{2} ∢ = 180^{\circ} - (β_{1} + β_{2}) . \end{matrix}

De az

A E_{1} E_{2}

és az

A' E_{1} E_{2}

háromszögek egybevágósága miatt

E_{1} A' E_{2} ∢ = E_{1} A E_{2} ∢

, tehát

\begin{matrix} E_{1} A' E_{2} ∢ + E_{1} B E_{2} ∢ & = E_{1} A' E_{2} ∢ + E_{1} B A ∢ + E_{2} B A ∢ = \\ = (180^{\circ} - (β_{1} + β_{2})) + β_{1} + β_{2} = 180^{\circ}, \end{matrix}

vagyis az

E_{1} B E_{2} A'

négyszög húrnégyszög.
Ezért az

E_{1} B E_{2}

háromszög köré írható kör sugara megegyezik az

E_{1} A' E_{2}

háromszög köré írható kör sugarával, ami pedig egyenlő az

E_{1} A E_{2}

háromszög köré írható kör sugarával, s így a feladat állítását beláttuk.

Megjegyzés. Ha

k_{i}

sugara

r_{i}

, az

E_{1} B E_{2}

és az

E_{1} A E_{2}

háromszögek köré írható kör sugara pedig

R

, akkor az

E_{1} A E_{2}

valamint az

E_{1} A B

és az

E_{2} A B

háromszögekben az általánosított szinusztétel szerint

\begin{matrix} sin β_{1} = \frac{E_{2} A}{2 R} = \frac{E_{1} A}{2 r_{1}} és sin β_{2} = \frac{E_{1} A}{2 R} = \frac{E_{2} A}{2 r_{2}} . \end{matrix}

Ezekből átrendezéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{E_{2} A}{E_{1} A} = \frac{2 R}{2 r_{1}} = \frac{2 r_{2}}{2 R}, \end{matrix}

vagyis

R = \sqrt[]{r_{1} \cdot r_{2}}