Kezdőlap


Feladat:	C.789	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Judit
Füzet:	2005/szeptember, 342. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Szabályos sokszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: C.789

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A síkot és a golyókat érintő gömb sugarát jelölje $R$ , középpontját $O_{1}$ . A síkra helyezett 8 egymást érintő gömb helyzetéből következik, hogy a nyolcszög egy élének hossza $2 r$ . A szabályos nyolcszög köré írt kör középpontja legyen $O_{2}$ , sugara $ϱ$ . A nyolcszög egyik középponti háromszöge $O_{2} A B$ , ahol $A O_{2} B ∢ = 45^{\circ}$ .

ϱ

értékét az

O_{2} A B

háromszögből határozhatjuk meg a koszinusz tétel felhasználásával:

\begin{matrix} {(2 r)}^{2} = ϱ^{2} + ϱ^{2} - 2 ϱ^{2} cos 45^{\circ} = 2 ϱ^{2} (1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2}) . \end{matrix}

Innen

ϱ^{2} = \frac{4 r^{2}}{2 - \sqrt[]{2}}

[ϱ = \frac{2 r}{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}}]

.
Az alapsík a nyolcszög síkjától

r

, az érintő gömb középpontjától

R

távolságra van. Fektessük

O_{1} O_{2}

-n keresztül az alapsíkra merőleges síkok közül azt, amelyik az

A

-n is átmegy. Ez a sík nyilván átmegy a nyolcszög köré írt kör

O_{2}

középpontján. Az ábra azokat a köröket mutatja, amelyekben ez a sík az

O_{1}

, illetve az

A

középpontú gömböket metszi.

O_{1} O_{2} A

derékszögű háromszögben

\bar{O_{1} O_{2}} = R - r

\bar{O_{1} A} = R + r

és

\bar{O_{2} A} = ϱ

.
Pitagorasz tételéből:

\begin{matrix} {(R + r)}^{2} = {(R - r)}^{2} + ϱ^{2} . \end{matrix}

Innen

4 R r = ϱ^{2}

, rendezve

R = \frac{ϱ^{2}}{4 r}

.
A

ϱ^{2}

korábban kiszámított értékét behelyettesítve kapjuk, hogy az érintő gömb sugara

R = \frac{(2 + \sqrt[]{2}) r}{2}