Kezdőlap


Feladat:	C.788	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tassy Gergely
Füzet:	2005/szeptember, 341. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Függvények ábrázolása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: C.788

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Alakítsuk szorzattá az $x^{5} - 10 x^{3} y^{2} + 5 x y^{4}$ polinomot. Kiemelve $x$ -et kapjuk, hogy:

\begin{matrix} x (x^{4} - 10 x^{2} y^{2} + 5 y^{4}) = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.
Ha

x = 0

, akkor a megoldáshalmaz az

x = 0

egyenletű egyenes, azaz az

y

tengely. A szorzat másik tényezője egy negyedfokú polinom. Az

y^{2}

-re másodfokú egyenletet kapunk, amelynek megoldásai

\begin{matrix} y^{2} = \frac{10 x^{2} \pm \sqrt[]{100 x^{4} - 20 x^{4}}}{10} = \frac{10 x^{2} \pm \sqrt[]{80} x^{2}}{10} . \end{matrix}

Innen

y = \pm \sqrt[]{1 \pm \frac{2 \sqrt[]{5}}{5}} x

, ekkor a megoldáshalmaz négy egyenes.
Tehát az egyenlet megoldáshalmaza a derékszögű koordinátarendszerben az alábbi 5 egyenes:

\begin{matrix} x & = 0, \\ y_{1} & = \sqrt[]{1 + \frac{2 \sqrt[]{5}}{5}} x, & y_{2} & = \sqrt[]{1 - \frac{2 \sqrt[]{5}}{5}} x, \\ y_{3} & = - \sqrt[]{1 + \frac{2 \sqrt[]{5}}{5}} x, & y_{4} & = - \sqrt[]{1 - \frac{2 \sqrt[]{5}}{5}} x . \end{matrix}

Ez utóbbi négy egyenes az origón megy át és páronként tükrös az

y

tengelyre. Az öt egyenes a teljes szöget 10 egyenlő részre osztja.