Kezdőlap


Feladat:	3808. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Andrea , Meszéna Balázs , Werner Miklós
Füzet:	2005/december, 564 - 565. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ideális gáz belső energiája (Kinetikus gázelmélet), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: 3808. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A gáz energiája (valamilyen inerciarendszerből nézve) a tömegközéppont mozgásához tartozó

\begin{matrix} E_{tkp} = \frac{1}{2} m v_{tkp}^{2} \end{matrix}

energiának és a tömegközépponthoz képest mozgó (és esetleg forgó) molekulák

\begin{matrix} E_{b} = \frac{f}{2} \frac{m}{M} R T \end{matrix}

,,belső energiájának'' összege. (

m

a gáz össztömege,

M

a móltömeg,

T_{0}

a gáz hőmérséklete,

f

pedig a gázmolekulák szabadsági fokainak száma, nitrogénre

f = 5

a)

Ha a tartályt hirtelen állítjuk meg (olyan hamar, hogy a gázmolekuláknak még nincs ideje a tartály falának ütközni), akkor a gáz összenergiája változatlan marad, hiszen nincs módunk munkát végezni a gázon. (A fékezéskor végzünk ‐ méghozzá negatív előjelű ‐ munkát, ennek nagysága megegyezik az üres tartály lefékezéséhez szükséges munkával, a gáz energiaviszonyai szempontjából figyelmen kívül hagyható.)
Ha sikerülne ilyen gyors fékezést előidézni (méghozzá úgy, hogy közben a tartály ne roncsolódjon), a gáz felmelegedne. Jóllehet a fékezést követő pillanatban a gáz még nem lenne termikus egyensúlyban (hiszen a molekuláinak átlagsebessége a tartályhoz képest nem az egyensúlyi sebességeloszlásnak megfelelő nulla érték), de a falakkal és egymással történő számos ütközés után a tömegközéppont mozgásából származó ,,rendezett'' energia szétszóródik, kialakul az egyensúly, és a gáz hőmérséklete az eredetinél magasabb

T_{1}

értékre áll be. Az energiamegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{tkp}^{2} + \frac{f}{2} \frac{m}{M} R T_{0} = \frac{f}{2} \frac{m}{M} R T_{1}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} T_{1} = T_{0} + \frac{M v_{tkp}^{2}}{f R} = 300 K + \frac{0, 028 \frac{kg}{mol} \cdot {(100 \frac{m}{s})}^{2}}{5 \cdot 8, 31 \frac{J}{mol K}} = 306, 7 K. \end{matrix}

Megjegyzés. A gáz felmelegítése a tartály hirtelen lefékezésével gyakorlatilag megvalósíthatatlan feladat. Ahhoz, hogy a fenti számolás érvényes legyen, a tartályt sokkal hamarabb kellene megállítanunk, mint amennyi idő alatt az egyes (még a hangsebességnél is gyorsabban mozgó) gázmolekulák a tartály egyik feléből a másikba érnek. A tartály egészének lefékezése úgy történhet, hogy a tartály falának csak bizonyos részeire fejtünk ki erőt; a tartály többi ‐ kívülről nem fékezett ‐ része rugalmas hullámok közvetítésével ,,veszi észre'', hogy meg kell állnia. Ezek a hullámok is ,,csak'' hangsebességgel terjednek, és igaz ugyan, hogy szilárd közegekben a hangsebesség néhányszor nagyobb, mint a gázokban, nagyságrendi különbség azonban nincs a kétféle terjedési sebesség között. Emiatt szinte lehetetlen a tartályt olyan gyorsan megállítani, ahogy az a fenti megoldás érvényességéhez szükséges lenne.

b)

Ha a tartályt lassan, mondjuk egyenletesen lassítva, viszonylag hosszú

t

idő alatt fékezzük le, akkor a gáz a tartály ,,első'' falát

F = m a = m \frac{v_{tkp}}{t}

erővel jobban nyomja, mint a ,,hátsó'' falat, így a fékezés során (az üres tartály lefékezésénél végzendő munkán felül)

\begin{matrix} W = - F \cdot s = - F \cdot \frac{a}{2} t^{2} = - m \frac{v_{tkp}}{t} \cdot \frac{v_{tkp}}{2 t} \cdot t^{2} = - \frac{1}{2} m v_{tkp}^{2} \end{matrix}

munkát kell végeznünk. (A negatív előjel arra utal, hogy az erő és az elmozdulás egymással ellentétes irányú.)
Ez a munka éppen annyi, amennyi a tömegközépponti mozgáshoz tartozó energia nullára csökkentéséhez szükséges, s így a gáz belső energiája és azzal együtt a hőmérséklete is változatlan marad.

Megjegyzés. A vizsgált hőtani folyamat lényege jól szemléltethető egy mechanikai példával: egy kiskocsi gurul vízszintes asztalon, s a kocsi érdes felületű tetején egy hasáb alakú test található.

a)

Ha a kiskocsit hirtelen megállítjuk, a rajta levő test megcsúszik, majd a súrlódás hatására megáll és egy kicsit felmelegszik. A keletkező hő éppen a hasáb kezdeti mozgási energiájával egyezik meg, hiszen a kiskocsit megállító külső erők a hasábon nem végeznek munkát.

b)

Amennyiben a kiskocsit olyan lassan fékezzük le, hogy a rajta levő test nem csúszik meg, akkor ‐ relatív elmozdulás hiányában ‐ súrlódási hő sem képződik, a hasáb alakú test hőmérséklete változatlan marad. Igaz ugyan, hogy a hasáb mozgási energiája lecsökken, de ez a rá ható külső erők (negatív) munkájának következménye, a test belső energiájának megváltozásával nem hozható kapcsolatba.