Kezdőlap


Feladat:	3765. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Peregi Tamás
Füzet:	2005/október, 440 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékok, szilárd testek fajhője, Folyadékok hőtágulása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: 3765. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a folyadékok tömegét $m_{i}$ -vel, egy bizonyos hőmérsékleten ‐ mondjuk $0^{\circ} C$ -on ‐ mérhető térfogatukat $v_{i}$ -vel, a kiegyenlítődött közös $T$ hőmérsékleten érvényes térfogatukat pedig $V'_{i}$ -vel ( $i = 1,2$ )!
A két pohárban ugyanolyan folyadék van, sűrűségük tehát azonos hőmérsékleten megegyezik: $ϱ = \frac{m_{1}}{v_{1}} = \frac{m_{2}}{v_{2}}$ , ahonnan

\begin{matrix} \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} . \end{matrix}

(1)

A folyadékok összeöntése után kialakuló közös hőmérsékletet a leadott és a felvett hő egyenlősége határozza meg:

c m_{1} (T_{1} - T) = c m_{2} (T - T_{2})

, ahol

c

a folyadék fajhője. (Feltételeztük, hogy

T_{1} > T_{2}

, de a megoldás további menete során nem fogjuk kihasználni, hogy melyik folyadék volt a melegebb.) A közös hőmérséklet

\begin{matrix} T = \frac{v_{1} T_{1} + v_{2} T_{2}}{v_{1} + v_{2}} . \end{matrix}

(2)

A folyadékok térfogata

Δ T

hőmérsékletváltozás hatására

Δ V = v β Δ T

értékkel változik meg (

β

a folyadék hőtágulási együtthatója). Eszerint, ha

T_{i}

a Celsius-skálán mért hőmérsékleteket jelöli, fennáll

\begin{matrix} V_{1} = v_{1} (1 + β T_{1}), illetve V_{2} = v_{2} (1 + β T_{2}), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v_{1} & = \frac{V_{1}}{1 + β T_{1}}, & (3) \\ v_{2} & = \frac{V_{2}}{1 + β T_{2}} . & (4) \end{matrix}

A folyadékok térfogata az összeöntés után

V'_{1} = v_{1} (1 + β T)

, illetve

V'_{2} = v_{2} (1 + β T)

. Az össztérfogat tehát

V'_{1} + V'_{2} = v_{1} + v_{2} + β (v_{1} + v_{2}) T

, ami (2) felhasználásával

\begin{matrix} V'_{1} + V'_{2} = v_{1} + v_{2} + β (v_{1} T_{1} + v_{2} T_{2}) = v_{1} (1 + β T_{1}) + v_{2} (1 + β T_{2}) = V_{1} + V_{2} . \end{matrix}

(Az utolsó lépésben a (3) és (4) összefüggéseket használtuk ki.) Azt kaptuk tehát, hogy a folyadékok össztérfogata a hőcsere hatására nem változik meg.

Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a folyadékok hőmérséklete abba a tartományba esik, ahol a hőtágulási együtthatók állandónak tekinthetők. Megfontolásaink nem érvényesek pl. a vízre annak fagyáspontja és

8^{\circ} C

között (lásd a P. 3754. feladat megoldását a KöMaL 2005. májusi számában). Érdekes lenne megvizsgálni, hogy mi történik az ösztérfogattal ilyen hőmérséklettartományba eső vízmennyiségek összeöntésekor.