Kezdőlap


Feladat:	2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tasnádi Tamás , Vankó Péter
Füzet:	2005/november, 495 - 496. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Anyaghullámok, Neutron, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

1. A bemenő nyíláson átjutott neutronok vízszintes irányban egyenletes mozgást végeznek, míg függőleges irányban úgy mozognak, mint egy pattogó labda. Azok a neutronok érik el a detektort, melyek kezdeti sebességének

v_{z}

függőleges komponenséből származó mozgási energiája nem elegendően nagy ahhoz, hogy

H

magasságba emelkedjenek, és így elérjék az

A

neutronelnyelő falat. Tehát az energiamegmaradás törvénye szerint

\frac{1}{2} M v_{z}^{2} + M g z < M g H

, ahonnan a kezdeti sebességre a

\begin{matrix} - \sqrt[]{2 g (H - z)} < v_{z} (z) < \sqrt[]{2 g (H - z)} \end{matrix}

egyenlőtlenség adódik.
2. Az üregnek olyan hosszúnak kell lennie, hogy minden, az előző pontban kiszámolt tartományon kívüli kezdeti paraméterekkel érkező neutron elérje a

H

magasságban elhelyezett abszorbenst. Az abszorbens eléréséig vízszintesen a legnagyobb utat az a neutron teszi meg, amely éppen

H

magasságban

v_{z} = 0

függőleges kezdősebességgel lép be az üregbe. A

H

magasságból való esés ideje

\sqrt[]{\frac{2 H}{g}}

, tehát a keresett minimális hossz:

\begin{matrix} L_{c} = 2 v_{x} \sqrt[]{\frac{2 H}{g}} = 6, 4 cm. \end{matrix}

3. Ha a

(z, v_{z})

kezdeti értékek az 1. alkérdésnél megadott egyenlőtlenség által megengedett

T

tartományba esnek, akkor a

z

és

z + d z

közé eső magasságban

v_{z}

és

v_{z} + d v_{z}

közé eső kezdeti sebességgel belépő neutronok mind elérik a detektort, és időegységenként

d N_{kl} = ϱ d z d v_{z}

beütést okoznak. Így a detektor által időegységenként észlelt összes beütésszám:

\begin{matrix} N_{kl} (H) & = \int_{T} d N_{kl} = ϱ \int \int_{(z, v_{z}) \in T} d z d v_{z} = ϱ \int_{z = 0}^{H} \int_{v_{z} = - \sqrt[]{2 g (H - z)}}^{\sqrt[]{2 g (H - z)}} d v_{z} d z = \\ = 2 ϱ \int_{z = 0}^{H} \sqrt[]{2 g (H - z)} d z = \frac{- 2 ϱ}{3 g} {[{(2 g (H - z))}^{\frac{3}{2}}]}_{z = 0}^{H} = \frac{4 ϱ \sqrt[]{2 g}}{3} H^{\frac{3}{2}} . \end{matrix}

4. A

H

magasságból eső neutron impulzusának függőleges komponense

z

(

0 \leq z \leq H

) magasságban

p_{z} (z) = M \sqrt[]{2 g (H - z)}

, így egy teljes periódusra (lefelé és fölfelé történő szakaszra) a hatásintegrál:

\begin{matrix} S (H) = 2 \int_{z = 0}^{H} p_{z} (z) d z = \frac{4 M \sqrt[]{2 g}}{3} H^{\frac{3}{2}} . \end{matrix}

A Bohr‐Sommerfeld kvantálás által megengedett

H_{n}

holtpontmagasságokra, illetve a hozzájuk tartozó

E_{n} = M g H_{n}

energiaszintekre az

S (H_{n}) = n h

feltételből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} H_{n} = {(\frac{9 h^{2}}{32 M^{2} g})}^{\frac{1}{3}} n^{\frac{2}{3}}, illetve E_{n} = {(\frac{9 M g^{2} h^{2}}{32})}^{\frac{1}{3}} n^{\frac{2}{3}} . \end{matrix}

A számadatokat behelyettesítve az első szinthez tartozó numerikus értékek:

\begin{matrix} H_{1} = 16, 5 μ m, és E_{1} = 1, 69 peV. \end{matrix}

Vegyük észre, hogy

H_{1}

az üreg

H = 50 μm

magasságának nagyságrendjébe esik. Ez teszi lehetővé, hogy a

H

magasság változtatásával megfigyeljük a kvantáltságot.
5. A határozatlansági reláció értelmében az energia

Δ E

pontosságú mérése, és a

Δ t

mérési idő között fennáll, hogy

Δ E Δ t \geq ℏ = \frac{h}{2 π}

. Esetünkben

Δ E \approx E_{1}

, így a minimális mérési idő, illetve a minimális üreghossz:

\begin{matrix} t_{q} \approx \frac{ℏ}{E_{1}} = 0, 4 ms, illetve L_{q} \approx v_{x} \frac{ℏ}{E_{1}} = 4 mm . \end{matrix}

A 4. pontban kiszámolt kvantáltság elfogadásával kvalitatív módon értelmezhető a grenoble-i kutatócsoport által mért lépcsős grafikon.

A neutronok mozgása függőlegesen kvantált. Adott

H

üregmagasságnál csak azokhoz az

E_{n}

energiákhoz tartozó ,,csatornák vannak nyitva'', melyekre

H_{n} < H

. Speciálisan ha

0 < H < H_{1}

, akkor egyetlen neutron sem jut át az üregen, ha

H_{1} < H < H_{2}

, akkor csak az

E_{1}

energiához tartozó csatorna van nyitva, és így tovább. Ahogy egyre magasabb és magasabb

E_{n}

energiákhoz tartozó csatornák is kinyílnak, lépcsőzetesen nő az üregen átjutó, és a detektorral észlelt neutronok száma.