Feladat:	3771. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boross Péter
Füzet:	2005/május, 312 - 313. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Plútó, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: 3771. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A Plútó tengelyforgási ideje $T=6\cdot 24+9=153$ óra, mintegy $55000$ s, szögsebessége pedig $\omega =2\pi /T$. Mivel a Charon a Plútóról nézve mindig ugyanott látszik (a Plútónak ugyanazon pontja felett található), a Charon Plútó körüli keringésének szögsebessége is $\omega =2\pi /T$. Másrészt az $m$ tömegű Charonra a $M$ tömegű, $R$ sugarú Plútó $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\gamma \frac{mM}{r^2}}\end{array}$ nagyságú gravitációs vonzóerőt fejt ki, melynek hatására a Charon $a=r{\omega }^2$ centripetális gyorsulással körpályán kering a Plútó (pontosabban: a közös tömegközéppontjuk) körül. Newton II. törvénye szerint $F=ma$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \gamma \frac{mM}{r^2}=mr{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\mathrm{,}\text{ahonnan}\frac{M}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{\gamma T^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az is tudjuk, hogy a Charon keringési pályasugara kb. $8\mathrm{,}5$-szerese az átmérőjének, vagyis $r\approx 17R$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{M}{r^3}\approx \frac{M}{4913R^3}=\frac{4{\pi }^2}{\gamma T^2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a Plútó átlagsűrűsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \varrho =\frac{M}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{3M}{4\pi R^3}=\frac{3}{4\pi }\frac{19652{\pi }^2}{\gamma T^2}\approx \frac{4\mathrm{,}63\cdot {10}^4}{\gamma T^2}\approx 2300\frac{\text{kg}}{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. A megoldás során úgy tekintettük, mintha a Plútó‐Charon-rendszer tömegközéppontja a Plútó középpontjában lenne; hiszen nem tettünk különbséget a két égitest közötti távolság, valamint a tömegközéppont és a Charon közötti távolság között. Ez csak akkor lenne jó közelítés, ha a Plútó tömege sokkal nagyobb lenne, mint a Charoné. Ténylegesen a tömegarány csak 12 körüli szám, ennek (és egyéb adatok pontatlanságának) következtében tehát a fenti számolást nem szabad 10 százalékosnál pontosabbnak tekinteni. 2. A Plútó sűrűségére a táblázatok $2\mathrm{,}1$ vízsűrűség körüli értékeket adnak meg. Ez látszólag megerősíti a becslésünket, valójában azonban nem tekinthető független információnak, mivel az idézett adatot éppen a feladatban leírt módon, legfeljebb pontosabban, a Charon pályaadataiból számították ki.