Feladat:	3763. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Péter András Levente ,  Szilágyi Zsombor
Füzet:	2005/május, 309 - 310. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: 3763. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az autót a súrlódási erő gyorsítja, amely akkor a legnagyobb, ha tapadási súrlódás lép fel. A tapadási súrlódási erő függ a tapadási együtthatótól és a nyomóerőtől: $|F_{\text{tapad}}|\le {\mu }_0{F}_N$. Mivel a feladat nem szól a légellenállásról, feltételezzük, hogy az a verseny körülményei között figyelmen kívül hagyható. Azt is feltesszük, hogy nem alkalmaznak speciális légterelő szárnyakat, s így a gépkocsit a talajhoz szorító erő egyszerűen az autó súlya: $F_N=mg$. Newton második törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle m|a|=|F_{\text{tapad}}|\le {\mu }_{0}mg\mathrm{,}\text{azaz}|a|\le {\mu }_{0}g\mathrm{.}}\end{array}$ Az autó legnagyobb gyorsulása tehát ${\mu }_{0}g$, és a legnagyobb ,,lassulás'' is ugyanekkora lehet csak. Az álló helyzetből induló autó akkor teszi meg a leggyorsabban az adott hosszúságú utat, ha a táv feléig a legnagyobb gyorsulással gyorsul, onnan kezdve pedig a legnagyobb lassulással fékez. Ekkor a gyorsítási és a fékezési szakasz ugyanannyi ($t/2$) ideig tart. Az egyenletesen gyorsuló mozgás út‐idő képletét alkalmazva a táv felére: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{s}{2}=\frac{{\mu }_{0}g}{2}{\left(\frac{t}{2}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan az elvileg lehetséges legrövidebb idő: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=2\sqrt[]{\frac{s}{{\mu }_{0}g}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. A megoldás során hallgatólagosan feltettük, hogy a gépkocsi súlya egyenletesen oszlik meg mind a négy keréken, és az autó négykerékmeghajtásos. Ha csak 2 meghajtott kereke lenne (és ezeket a súly fele szorítaná a talajhoz), akkor a maximális gyorsulás csupán ${\mu }_{0}g/2$ lehetne. 2. Bebizonyítjuk, hogy a leírtaktól eltérő mozgással (tehát nem egyenletes gyorsulással és lassulással) nem lehet a kiszámított $t_{\text{min}}$ időnél hamarabb végigmenni a megadott úton. Tegyük fel az ellenkezőjét, azt, hogy megvalósítható a kipörgésmentes mozgás $t_0<t_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}$ idő alatt, és a sebesség‐idő grafikon az ábrán látható valamelyik görbe vonal. A függvény grafikonjának görbe alatti területe az előírt $s$ úttal, vagyis a besatírozott háromszög területével kell egyenlő legyen. Ha $v\left(t\right)$ görbéje mindvégig a háromszögön belül halad ($a$), akkor az általa határolt terület nem lehet $s$-sel egyenlő. Valahol tehát a sebesség‐idő grafikonnak ki kell lépnie a háromszögből: vagy a gyorsítási szakaszban ($b$), vagy a lassításnál ($c$). Ekkor viszont a $v\left(t\right)$ függvény görbéjének meredeksége ‐ a gyorsulás abszolút értéke ‐ valahol nagyobb kell legyen, mint a háromszög szárainak $a_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}={\mu }_{0}g$ meredeksége. A ($b$) esetben ez a háromszögből való kilépés $P$ pontjánál biztosan bekövetkezik, a ($c$) esetben pedig a visszatérés $Q$ pontjánál. Ekkor (vagy már előbb) az autó kerekei kipörögnek, tehát a világcsúcsjavítási kísérlet érvénytelenné válik.