Feladat:	3752. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Heisenberger Viktor
Füzet:	2005/május, 304 - 305. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontszerű töltés térerőssége, Atommagok tulajdonságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: 3752. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük az $\alpha$-részecske (hélium atommag) kezdeti mozgási energiáját (ez egyúttal a részecske teljes energiája) $E$-vel, töltését $Q_{\alpha }$-val, a réz atommagjának töltését pedig $Q_{\text{Cu}}$-val! ($Q_{\alpha }=2e$ és $Q_{\text{Cu}}=29e$, ahol $e$ az elemi töltés.) Ha a réz atommagja rögzített lenne, akkor az $\alpha$-részecske ,,frontális ütközés'' esetén a céltárgy atommagjától valamekkora $d$ távolságban meg tudna állni, így a kezdeti mozgási energiája teljes egészében a Coulomb-taszítás leküzdésére fordítódna. Az energiamegmaradás törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle E=k\frac{Q_{\alpha }{Q}_{\text{Cu}}}{d}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle d=k\frac{Q_{\alpha }{Q}_{\text{Cu}}}{E}=9\cdot {10}^9\frac{\text{V m}}{\text{A s}}\cdot \frac{2\cdot 29\cdot 1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-19}\text{A s}}{5\mathrm{,}3\cdot {10}^6\text{V}}=1\mathrm{,}58\cdot {10}^{-14}\text{m}\mathrm{.}}\end{array}$ A valóságban a réz atommagok nincsenek elmozdíthatatlanul rögzítve; bizonyos erősségű kémiai kötések tartják őket a fém kristályrácsában. Mivel a bombázó $\alpha$-részecske energiája sokkal nagyobb, mint a kémiai kötések energiája, az erősen meglökött réz atommagok könnyen kiszakadhatnak a kristályrácsból; az ütközés szempontjából tehát a céltárgy atommagjai szabad részecskéknek tekinthetők. A külső erők hiánya (vagy elhanyagolható volta) miatt az $\alpha$-részecske és a réz atommag ütközésekor igaz a lendületmegmaradás törvénye. Miközben a hélium atommag közeledik az ütközési ponthoz, sebessége egyre csökken, a céltárgy (réz) atommagja pedig felgyorsul. A két részecske között akkor lesz a legkisebb a távolság, amikor a pillanatnyi sebességük éppen megegyezik. Legyen ez a közös sebesség $u$, a kérdéses távolság pedig $d\text{'}$. Az energia- és az impulzusmegmaradás törvényéből $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{u}^2+\frac{1}{2}{m}_{\text{Cu}}{u}^2+k\frac{Q_{\alpha }{Q}_{\text{Cu}}}{d\text{'}}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{2m_{\alpha }E}=\left(m_{\alpha }+m_{\text{Cu}}\right)u\mathrm{.}}\end{array}$ (Feltételeztük, hogy a részecskék mozgása nemrelativisztikus, ezért a mozgási energiát és a lendületet a newtoni fizika képletei alapján számíthatjuk ki. Ennek jogosságát a kiszámított eredmények ismeretében utólag ellenőrizni kell!) A fenti egyenletekből a két részecske legkisebb távolságára $\begin{array}{c}{\displaystyle d\text{'}=k\frac{Q_{\alpha }{Q}_{\text{Cu}}}{E}\cdot \frac{m_{\text{Cu}}}{m_{\alpha }+m_{\text{Cu}}}=1\mathrm{,}68\cdot {10}^{-14}\text{m}\mathrm{,}}\end{array}$ $d$-nél egy kicsit nagyobb érték adódik. Az $\alpha$-részecske kezdeti sebessége $1\mathrm{,}6\cdot {10}^7$ m/s, a közös sebesség, valamint a meglökött réz atommag sebessége pedig még ennél is kisebb. Ezek lényegesen kisebbek a fénysebességnél, tehát valóban jogos volt a nemrelativisztikus számolás.