A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A feladat megoldásához két hatást kell figyelembe vennünk. Az egyik végénél fogva gyorsított rúdban mechanikai feszültségek ébrednek, és ezek hatására a rúd rugalmas alakváltozást szenved, megnyúlik. Másrészt a gyorsuló rúd egyre nagyobb sebességgel mozog a laboratóriumi vonatkoztatási rendszerhez képest, emiatt ‐ a relativitáselmélet egyik furcsa jelensége folytán ‐ a laboratóriumi rendszerben mért hossza lecsökken, ún. Lorentz-kontrakciót szenved. Amikor ezen két hatás nagysága megegyezik, akkor áll fenn a feladatban megfogalmazott feltétel: a rúd hossza ismét a kezdeti érték lesz. (A gyorsítás folyamán a rúdban rugalmas rezgések is kialakulnak, ezek figyelembe vétele azonban nagyon elbonyolítaná a tárgyalást.) Ha egy hosszúságú, keresztmetszetű acélrúd mindkét végét erővel húzzuk, akkor a rúdban ébredő feszültség mindenhol ugyanakkora, nevezetesen , és emiatt a rúd egyenletes mértékben fog deformálódni, hossza értékkel nő ( az acél Young-modulusa). Más a helyzet akkor, amikor az acélrúd az egyik végénél ható nagyságú erő hatására gyorsul (és más külső erő nem hat a testre). Ilyenkor a rúdban a mechanikai feszültség csak a húzott végének közelében lesz , a rúd közepénél ennek csak a fele (hiszen az ott ébredő rugalmas erőknek csak a rúd fele tömegű részét kell gyorsítaniuk), a rúd túlsó vége pedig már egyáltalán nem lesz feszített állapotban. A rúdban kialakuló feszültség a rúd mentén egyenletesen változik, egyenletesen csökken -ról nullára, átlagosan tehát , így a rúd megnyúlása Feltételezzük, hogy ez a megnyúlás sokkal kisebb, mint a rúd eredeti hossza, azaz . A relativisztikus hosszúságcsökkenés miatt a sebességgel mozgó rúd hosszának mérőszáma a laboratóriumi rendszerben: és ez akkor egyezik meg a kezdeti hosszal, ha ( a vákuumbeli fénysebesség.) Feltevésünk szerint mind a rugalmas deformáció, mind pedig a Lorentz-kontrakció nagyon kicsi, tehát , és ugyanígy . Négyzetre emelés után a kicsiny tag négyzetét és a kicsiny tagok szorzatát elhanyagolva a összefüggést kapjuk. A gyorsulást egyenletesnek tekinthetjük (a relativisztikus tömegnövekedést miatt nem kell figyelembe vennünk), így felírhatjuk a Newton-féle mozgásegyenletet: ( az acél sűrűsége), illetve a sebesség, a gyorsulás és a rúd által megtett út közötti kinematikai összefügést: A fenti három egyenletből | | Tehát a rúdnak ‐ ideális körülmények között ‐ kezdeti hosszának mintegy kétmilliárdszorosát (!) kellene megtennie, hogy a feladatban megfogalmazott furcsa feltétel megvalósuljon. Érdekes, hogy ez az arányszám csak az acél anyagi állandóitól és a fénysebességtől függ, a rúd méretétől és a gyorsulás (vagy az erő) nagyságától nem. |