Kezdőlap


Feladat:	3762. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Tamás , Meszéna Balázs , Pálinkás Csaba , Werner Miklós
Füzet:	2005/április, 246 - 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lorentz-transzformáció, Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: 3762. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat megoldásához két hatást kell figyelembe vennünk. Az egyik végénél fogva gyorsított rúdban mechanikai feszültségek ébrednek, és ezek hatására a rúd rugalmas alakváltozást szenved, megnyúlik. Másrészt a gyorsuló rúd egyre nagyobb sebességgel mozog a laboratóriumi vonatkoztatási rendszerhez képest, emiatt ‐ a relativitáselmélet egyik furcsa jelensége folytán ‐ a laboratóriumi rendszerben mért hossza lecsökken, ún. Lorentz-kontrakciót szenved. Amikor ezen két hatás nagysága megegyezik, akkor áll fenn a feladatban megfogalmazott feltétel: a rúd hossza ismét a kezdeti érték lesz. (A gyorsítás folyamán a rúdban rugalmas rezgések is kialakulnak, ezek figyelembe vétele azonban nagyon elbonyolítaná a tárgyalást.)
Ha egy $l$ hosszúságú, $A$ keresztmetszetű acélrúd mindkét végét $F$ erővel húzzuk, akkor a rúdban ébredő feszültség mindenhol ugyanakkora, nevezetesen $F / A$ , és emiatt a rúd egyenletes mértékben fog deformálódni, hossza

\begin{matrix} {(Δ l)}_{0} = \frac{F l}{E A} \end{matrix}

értékkel nő (

E

az acél Young-modulusa). Más a helyzet akkor, amikor az acélrúd az egyik végénél ható

F

nagyságú erő hatására gyorsul (és más külső erő nem hat a testre). Ilyenkor a rúdban a mechanikai feszültség csak a húzott végének közelében lesz

F / A

, a rúd közepénél ennek csak a fele (hiszen az ott ébredő rugalmas erőknek csak a rúd fele tömegű részét kell gyorsítaniuk), a rúd túlsó vége pedig már egyáltalán nem lesz feszített állapotban. A rúdban kialakuló feszültség a rúd mentén egyenletesen változik, egyenletesen csökken

\frac{F}{A}

-ról nullára, átlagosan tehát

\frac{1}{2} \frac{F}{A}

, így a rúd megnyúlása

\begin{matrix} Δ l = \frac{1}{2} {(Δ l)}_{0} = \frac{F l}{2 E A} . \end{matrix}

Feltételezzük, hogy ez a megnyúlás sokkal kisebb, mint a rúd eredeti hossza, azaz

Δ l ≪ l

.
A relativisztikus hosszúságcsökkenés miatt a

v

sebességgel mozgó rúd hosszának mérőszáma a laboratóriumi rendszerben:

\begin{matrix} l^{*} = l \cdot (1 + \frac{F}{2 E A}) \sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}, \end{matrix}

és ez akkor egyezik meg a kezdeti hosszal, ha

\begin{matrix} (1 + \frac{F}{2 E A}) \sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = 1. \end{matrix}

(

c

a vákuumbeli fénysebesség.)
Feltevésünk szerint mind a rugalmas deformáció, mind pedig a Lorentz-kontrakció nagyon kicsi, tehát

\frac{F}{2 E A} ≪ 1

, és ugyanígy

\frac{v^{2}}{c^{2}} ≪ 1

. Négyzetre emelés után a kicsiny tag négyzetét és a kicsiny tagok szorzatát elhanyagolva a

\begin{matrix} v \approx \sqrt[]{\frac{F}{E A}} c \end{matrix}

összefüggést kapjuk. A gyorsulást egyenletesnek tekinthetjük (a relativisztikus tömegnövekedést

v ≪ c

miatt nem kell figyelembe vennünk), így felírhatjuk a Newton-féle mozgásegyenletet:

\begin{matrix} F = ϱ l A \cdot a \end{matrix}

(

ϱ

az acél sűrűsége), illetve a sebesség, a gyorsulás és a rúd által megtett

s

út közötti kinematikai összefügést:

\begin{matrix} s = \frac{v^{2}}{2 a} . \end{matrix}

A fenti három egyenletből

\begin{matrix} \frac{s}{l} = \frac{ϱ c^{2}}{2 E} \approx \frac{7800 \cdot 9 \cdot 10^{16}}{2 \cdot 2 \cdot 10^{11}} \approx 2 \cdot 10^{9} . \end{matrix}

Tehát a rúdnak ‐ ideális körülmények között ‐ kezdeti hosszának mintegy kétmilliárdszorosát (!) kellene megtennie, hogy a feladatban megfogalmazott furcsa feltétel megvalósuljon. Érdekes, hogy ez az arányszám csak az acél anyagi állandóitól és a fénysebességtől függ, a rúd méretétől és a gyorsulás (vagy az erő) nagyságától nem.