Kezdőlap


Feladat:	3761. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Domonkos Tamás
Füzet:	2005/április, 245. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gauss-törvény, Egyéb atommag-tulajdonság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: 3761. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az aranyatom magját a mérések szerint egyenletes térfogati töltéssűrűségű gömbnek tekinthetjük, amely körül (az atommag méretéhez képest sokkal nagyobb térrészben) még elektronok is találhatók. A maghoz közeledve az elektromos térerősség egyre nagyobbá válik, és ott, ahol a legerősebb a mag tere, az elektronok hatása elhanyagolhatóan kicsi; emiatt a továbbiakban csak a mag terével foglalkozunk.
Egy $A$ tömegszámú nehéz mag mérete az

\begin{matrix} R = r_{0} \cdot \sqrt[3]{A} \end{matrix}

összefüggésből számítható ki, ahol

r_{0} \approx 1, 4 \cdot 10^{- 15} m

. (Ez a képlet az atommagok tömegeloszlásának átlagos méretét adja meg; az elektromos töltéseloszlás mérete kicsit kisebb, nevezetesen az

r_{0} \approx 1, 2 \cdot 10^{- 15} m

értéknek megfelelő.)
A

Z

rendszámú atommag elektromos térerőssége az atommagon kívül a Coulomb-törvény szerint

\begin{matrix} E (r > R) = k \frac{Z e}{r^{2}}, \end{matrix}

a magon belül pedig (Gauss törvényének felhasználásával):

\begin{matrix} E (r) \cdot 4 π r^{2} = \frac{1}{ε_{0}} \cdot Q_{bent} = 4 π k \frac{r^{3}}{R^{3}} \cdot Z e, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} E (r < R) = k \frac{Z e}{R^{3}} r . \end{matrix}

Az elektromos térerősség (lásd az ábrát) a mag határán a legnagyobb, értéke

\begin{matrix} E_{{max}_{}^{}} = E (R) = k \frac{Z e}{R^{2}} = 9 \cdot 10^{9} \frac{79 \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 19}}{{(\sqrt[3]{197} \cdot 1, 4 \cdot 10^{- 15})}^{2}} \approx 1, 7 \cdot 10^{21} \frac{V}{m} . \end{matrix}

(Ha az atommagok ,,töltéssugarának'' megfelelő

r_{0}

-lal számolunk, kicsit nagyobb számértéket,

2, 3 \cdot 10^{21}

V/m-t kapunk.)