Feladat: 3755. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hagymási Imre ,  Horváth Andrea ,  Kiss Péter ,  Mándi Gábor ,  Mezei Bálint ,  Paulin Roland ,  Szabó Dániel 
Füzet: 2005/április, 243 - 244. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csúszásmentes (tiszta) gördülés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: 3755. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha egy vízszintesen repülő nyílvesszőről nem túl rövid expozíciós idejű fényképfelvételt készítünk, csak a nyílhegy és a toll képe lesz elmosódott; a nyílvessző többi pontjai nem különböztethetők meg egymástól, és az elmozdulás során egymásba mennek át, emiatt a nyílvessző egésze élesen látszik.
A kerékpár küllőinek pontjai sem különböznek egymástól, így mindazok a küllőpontok, amelyek a kerék elmozdulása és elfordulása során ,,küllőirányú'' sebességgel rendelkeznek, a képen viszonylag élesen látszanak. Az 1. ábrán ‐ amelyen az áttekinthetőség kedvéért csak 2 küllőt rajzoltunk be ‐ a kerék néhány, egymáshoz közeli állapotát látjuk. Megfigyelhetjük, hogy a kerék pillanatnyi forgástengelyének megfelelő O ponton kívül a P pont is viszonylag élesen látszik ezen a ,,sztroboszkopikus felvételen''. (A P pont nem a küllő egy bizonyos pontjának, hanem különböző ‐ de a fényképfelvételen ugyanarra a helyre kerülő ‐ küllőpontoknak felel meg.)

 

 
1. ábra
 

Mi jellemzi az ilyen tulajdonságú P pontokat? Az, hogy a küllő ottani sebessége, ami nyilván merőleges OP-re, éppen a küllő TP irányával esik egybe, vagyis a TPO háromszög derékszögű (2. ábra).
 

 
2. ábra
 

Ezek szerint a P pontok az OT egyeneshez tartozó Thalész-körön helyezkednek el.
 
II. megoldás. Tekintsük azt a küllőt, amelyik a fényképezőgép zárszerkezetének nyitási pillanatában φ szöget zár be a függőlegessel. Ez a küllő az exponálás ideje alatt valamekkora (kicsiny) ε szöggel elfordul, a küllő felső végpontja pedig az R sugarú kerék gördülése folytán vízszintes irányban Rε távolsággal elmozdul (3. ábra). (Az ábrán a kerék jobbra mozog.)
 

 
3. ábra
 

Határozzuk meg a mozgó küllő egyenesének azon P pontját, amelyik az exponálás kezdetekor és a végén ugyanazon a helyen található. Az ábrán látható koordináta-rendszerben felírhatjuk, hogy
xy=tgφ,
valamint
x+Rεy=tg(φ+ε)=tgφ+tgε1-tgφtgε.
A két egyenletből tgφ-t kiküszöbölhetjük, így
xy+Rεy=xy+tgε1-xytgε,
vagy más alakban
x2+y2=εtgεRy-(Rx)ε
adódik.
Felhasználva, hogy a kicsiny ε szögekre a fenti egyenlet jobb oldalának második tagja elhanyagolható, továbbá tgεε, a kérdéses P pont koordinátái között az x2+y2=Ry, azaz
x2+(y-R2)2=(R2)2
összefüggést kapjuk; ez pedig egy ‐ a kerék tengelyén és a talajjal érintkező pontján átmenő ‐ R/2 sugarú kör egyenlete.
 
Megjegyzések. 1. A kerékpár küllői nem pontosan sugár irányúak, hanem attól ‐ technikai okok miatt ‐ kicsit eltérnek. A megoldás során ezt a tényt az egyszerűség kedvéért nem vettük figyelembe, de mint az általam készített és beküldött fényképfelvételen is látható, a tényleges küllőelrendezésnél is érvényes a megoldásban leírt elv: azok a pontok látszanak élesen, amelyeknél a küllő elmozdulása a küllő egyenesének irányába esik. Ezek a pontok egy körhöz közeli alakzaton helyezkednek el. A fényképek a hátsó borítón láthatók.