Feladat: 3738. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szilágyi Zsombor 
Füzet: 2005/április, 235 - 236. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb merev test egyensúlya, Lineáris hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: 3738. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat szövege nem említi, hogy a lemez pontosan milyen helyzetben fekszik a háztetőn; az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a rézlemez egyik oldala vízszintes. Vízszintes irányban (a szimmetria miatt) a lemez nem mozdul el a tetőhöz képest; a továbbiakban csak a lejtő irányú elmozdulással foglalkozunk.
A lemezen találhatunk egy olyan vízszintes vonalat, amely tágulás közben nem mozdul el a tetőhöz képest. Ennek a ,,semleges'' vonalnak a helyzetét szeretnénk meghatározni. Vágjuk el képzeletben a lemezt a semleges vonal mentén. Ezen vonal mentén a két ‐ különböző irányban elmozduló ‐ rész egyenlő (F) nagyságú erővel hat egymásra. Mivel a lassú tágulás közben egyik lemezdarab sem gyorsul, fenn kell álljon az erőegyensúly.
Jelöljük a semleges vonal feletti lemezdarab tömegét m-mel, az alsó részét pedig xm-mel! A felső lemezdarab felfelé tágul, tehát a súrlódási erő is és a súlyának lejtő irányú komponense is lefelé tolja. Ezekkel tart egyensúlyt a másik lemezdarab által felfelé kifejtett erő: F=mg(μcosα+sinα). Az alsó lemezdarab lefelé mozog, a súrlódási erő a lejtő mentén felfelé hat, az egyensúly feltétele tehát F=xmg(μcosα-sinα). A fenti két egyenletből a tömegek arányára

x=μcosα+sinαμcosα-sinα3,73
adódik, és ugyanekkora a két lemezdarab lejtvonallal párhuzamos oldalának hosszúság-aránya is. A két lemezdarab teljes hossza 1 méter, innen a felső darab mérete l1=0,21m, az alsóé pedig l2=0,79m.
Összehúzódásnál ugyanez az arány jön ki, csak fordított szereposztásban: a semleges vonal alatti lemezdarab mérete lesz 0,21 m, a felsőé pedig =0,79 m.
Számítsuk ki, hogy mennyit mozdul el 1 nap alatt a lejtő mentén lefelé a ΔT hőmérsékletváltozásnak kitett, α hőtágulási együtthatójú rézlemez alsó széle. A tágulás során az alsó él elmozdulása Δl2=l2αΔT lefelé, összehúzódáskor ugyanez az él Δl1=l1αΔT távolsággal mozdul el felfelé, az eredő elmozdulás tehát naponta (l2-l1)αΔT, 365 nap alatt pedig
Δl=365(l2-l1)αΔT3,4cm.