Kezdőlap


Feladat:	3734. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagy Péter
Füzet:	2005/április, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Matematikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: 3734. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $B$ pontban a golyó gyorsulása a szimmetria miatt nyilván csak függőleges (tehát centripetális) lehet, nagysága

\begin{matrix} a_{cp} = \frac{v_{B}^{2}}{R} = 3 g, \end{matrix}

ahonnan a golyó sebessége ebben a pontban:

\begin{matrix} v_{B} = \sqrt[]{3 g R} . \end{matrix}

Másrészt az energiamegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g R = \frac{1}{2} m v_{B}^{2}, ahonnan v_{A} = \sqrt[]{v_{B}^{2} - 2 g R} = \sqrt[]{g R}, \end{matrix}

tehát ekkora kezdősebességgel kell indítani a golyót az

A

pontból.
A mozgás egy közbenső, az ábrán látható

α

szöggel jellemzett

C

helyzetében a golyó gyorsulása két részből, a sugár irányú centripetális gyorsulásból és az érintő irányú tangenciális (másnéven pályamenti) gyorsulásból tevődik össze. Az energiamegmaradás alapján

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g R sin α = \frac{1}{2} m v_{C}^{2}, \end{matrix}

ahonnan a sebesség, majd a centripetális gyorsulás számolható:

\begin{matrix} a_{c} = \frac{v_{C}^{2}}{R} = g (1 + 2 sin α) . \end{matrix}

A tangenciális gyorsulást kizárólag a nehézségi gyorsulás érintő irányú komponense okozza, a pálya által kifejtett nyomóerőnek nincs ilyen irányú összetevője:

\begin{matrix} a_{t} = g cos α . \end{matrix}

Az is igaz, hogy a kérdéses helyzetben (amikor az eredő gyorsulás vízszintes irányú) fennáll:

\begin{matrix} \frac{a_{t}}{a_{c}} = tg α, vagyis \frac{cos α}{1 + 2 sin α} = \frac{sin α}{cos α} . \end{matrix}

Ez az egyenlet

sin α

-ra nézve másodfokú:

\begin{matrix} 3 sin^{2} α + sin α - 1 = 0, \end{matrix}

melynek fizikai jelentéssel bíró megoldása:

\begin{matrix} sin α = \frac{\sqrt[]{13} - 1}{6}; α = 25, 7^{\circ} . \end{matrix}

A gyorsulás nagysága ekkor

\begin{matrix} a = \sqrt[]{a_{t}^{2} + a_{cp}^{2}} = g \sqrt[]{cos^{2} α + {(1 + 2 sin α)}^{2}} \approx 20, 3 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}