Feladat: B.3797 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Péter 
Füzet: 2006/szeptember, 340 - 341. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Metsző körök hajlásszöge, Középponti és kerületi szögek, Mértani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: B.3797

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a P merőleges vetületét a BC, AC, AB oldalakra rendre PA, PB, illetve PC.
a) Tegyük fel, hogy az ABC szabályos háromszög belsejében lévő P pontra PPB⋅PPA=PPC2 teljesül, azaz

PPBPPC=PPCPPA.(1)

 

 
1. ábra
 

Mivel az APCPPB négyszög és a BPAPPC négyszög húrnégyszög (PPBA∢=PPCA∢=90∘ és PPCB∢=PPAB∢=90∘ miatt), azért az APCPPB négyszögben a PPB húrhoz tartozó kerületi szögekre PBAP∢=PBPCP∢=α, valamint PBAPC∢=60∘ miatt PBPPC∢=120∘.
Hasonlóan PAPPC∢=120∘. Ezeket (1)-gyel egybevetve adódik, hogy a PBPPC és a PAPPC háromszögek hasonlóak, mivel egy oldalpárjuk aránya és a közbezárt szög megegyezik. Ezért PPCPB∢=PPAPC∢=α.
A BPAPPC húrnégyszögben a PPC húrhoz tartozó kerületi szögekre PPAPC∢=PBPC∢=α teljesül. Így az APB háromszögben:
APB∢=180∘-PAB∢-α=180∘-(60∘-α)-α=120∘.
A P pontból tehát az AB szakasz 120∘-os szögben látszik, így P az AB szakasz látószögkörívének ABC háromszögbe eső ívén helyezkedik el.
 

b) Most megmutatjuk, hogy ennek a körívnek minden P belső pontja jó, azaz teljesíti a PPB⋅PPA=PPC2 feltételt (2. ábra).
 

 
2. ábra
 

CAP∢=α és PAB∢=60∘-α, vagyis a PAB háromszögben
PBA∢=180∘-(60∘-α)-120∘=α.
Az APCPPB és a BPAPPC húrnégyszögekben PBAP∢=PBPCP∢=PPAPC∢=PBPC∢=α.
Mivel
PBPPC∢=180∘-60∘=120∘=PAPPC∢,
azért a PBPPC és a PAPPC háromszögek hasonlóak, hiszen szögeik megegyeznek. Így egyenlő a megfelelő oldalak aránya is: PPBPPC=PPCPPA, ahonnan PPB⋅PPA=PPC2.
 

A keresett mértani hely tehát az AB oldal 120∘-os látókörívének a háromszög belsejébe eső íve.