|
Feladat: |
B.3796 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Baranyai J. Attila , Bogár Péter , Csizmadia János , Estélyi István , Gehér György , Gombkötő Tamás , Horváth Zoltán , Ildrin Gasimov , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christián , Komáromy Dani , Kónya Gábor , Korándi Dániel , Kornis Bence , Kovács Péter , Kunovszki Péter , Kutas Sándor , Petényi Franciska , Poronyi Balázs , Rácz Miklós , Sommer Dániel , Strenner Balázs , Ureczky Bálint |
Füzet: |
2006/május,
290 - 292. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai bizonyítások, Szögfelező egyenes, Háromszög nevezetes körei, Inverzió, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/február: B.3796 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az ponton átmenő szelő , ami az adott kört a és a pontban metszi. A kör középpontja legyen , az tükörképe egyenesére , , illetve tükörképe pedig , illetve . A tükrözés miatt és .
1. ábra Ezért a bizonyítandó állítással ekvivalens, hogy , ami éppen azt jelenti, hogy a szakaszon van. Tehát a szimmetria miatt azt kell megmutatnunk, hogy és metszéspontja (legyen ) egybeesik a ponttal, azaz helyzete független az -nek az -val bezárt szögétől. Rögzítsük -t egy tetszőleges helyzetben, amely nem azonos -val (hiszen akkor a feladat állítása nyilvánvalóan teljesül ‐ 2. ábra). Alkalmazzuk a szögfelező-tételt az háromszögre:
az utolsó két egyenlőség az előbbiből és az -ra vonatkozó tengelyes szimmetriából következik.
2. ábra Az (1) szerint a páronként különböző , , és pontok rajta vannak egyik Apollóniusz-körén, de ugyanakkor az adott körön is, ami csak úgy lehetséges, ha a két kör egybeesik. Legyenek és az egyenesének a körrel való metszéspontjai, ekkor tehát . Írjuk fel az itt szereplő szakaszokat a kör sugarának segítségével: | | Ebből már látszik, hogy csak -től és -tól függ, -tól nem, amit bizonyítani akartunk. Könnyen belátható (pl. az derékszögű háromszög befogójára felírt befogótétel segítségével), hogy ez a pont egybeesik a ponttal.
II. megoldás. Legyen ismét a kör középpontja , sugara . és egymás tükörképei az egyenesre nézve, ezért merőleges -re; ugyanakkor merőleges -ra, mivel érintő. A befogótétel alapján . Mivel , és kollineárisak, ez azt jelenti, hogy az és pontok egymás inverzei a alapkörre nézve.
3. ábra Jelölje továbbra is a egyenest. Az inverzió ismert tulajdonságai alapján inverze a körre nézve a háromszög köréírt köre (kivéve az pontot), legyen ez az kör. Mivel illeszkedik -re és inverze a körre nézve , azért rajta van az körön. Így a négyszög húrnégyszög. ), mivel mindkét szög -ra egészíti ki a szöget. (Az egyik mellékszög, a másik pedig a húrnégyszögek tétele szerint.) A háromszög egyenlő szárú, hiszen ; így Mivel húrnégyszög, az oldal a és a csúcsokból ugyanakkora szög alatt látszik: . Tehát , ezért . Ez azt jelenti, hogy az egyenes valóban felezi a szöget. |
|