Kezdőlap


Feladat:	B.3795	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tossenberger Anna
Füzet:	2005/december, 536 - 537. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintési szerkesztések, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: B.3795

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a két adott pontot $A$ -val és $B$ -vel. Először rajzoljuk meg az $A$ , illetve $B$ középpontú $1 = A B$ sugarú $k_{1}$ és $k_{2}$ köröket. E két kör metszéspontjai legyenek $C_{1}$ és $C_{2}$ . Ezután szerkesszük meg a $C_{1}$ középpontú $C_{1} A = 1$ sugarú kört, majd ennek a körnek és $k_{1}$ -nek a $B$ -től különböző $D$ metszéspontja körüli $D A = 1$ sugarú kört. Legyen ennek és $k_{1}$ -nek $C_{1}$ -től különböző metszéspontja $E$ .
Ekkor

\begin{matrix} 1 = A B = A C_{1} = A C_{2} = A D = A E = B C_{1} = B C_{2} = D C_{1} = D E, \end{matrix}

vagyis az

A B C_{1}

A B C_{2}

A C_{1} D

és

A D E

háromszögek mindegyike szabályos. Ezért

E A D ∢ + D A C_{1} ∢ + C_{1} A B ∢ = 180^{\circ}

, vagyis az

E

A

B

pontok egy egyenesre illeszkednek és

E B = 2

, továbbá

C_{1} C_{2}

merőleges

A B

-re, hossza pedig az 1 oldalú szabályos háromszög magasságának kétszerese, azaz

C_{1} C_{2} = \sqrt[]{3}

Rajzoljuk meg ezután a

B

és az

E

középpontú

\sqrt[]{3}

sugarú köröket, ezek metszéspontjai legyenek

F_{1}

és

F_{2}

. Ekkor

E B F_{i}

(

i = 1,2

) olyan egyenlő szárú háromszög, melynek alapja

2

, szárai pedig

\sqrt[]{3}

hosszúak. Az alaphoz tartozó magasság hossza Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} \sqrt[]{{\sqrt[]{3}}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2}} = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A magasság az alap felezőpontját köti össze a szemközti csúccsal, azaz éppen az

A

pontot

F_{i}

-vel.
A csak körzővel szerkesztett

A

és

F_{2}

pontok távolsága tehát

\sqrt[]{2}

, ezek a feladat egy megoldását adják.

Megjegyzés. A feladatot sokféleképp meg lehet oldani, a közölt szerkesztés véleményünk szerint a legegyszerűbb.