Feladat: C.799 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Tassy Gergely 
Füzet: 2005/december, 526 - 527. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: C.799

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Számozzuk meg a tetraéder csúcsait 1-től 4-ig. Egy helyzetváltoztatást az 1,...,4 számokból készített számnégyessel írhatunk le. A (2,3,2,1) számnégyes például azt jelenti, hogy az 1. csúcsban ülő hangya a 2. csúcs felé, a 2. csúcsban ülő hangya a 3-as csúcs felé, a 3. csúcsban ülő hangya a 2-es csúcs felé és végül a 4. csúcsban ülő hangya az 1-es csúcs felé mozdul el.

 
 

Az összes lehetséges helyváltoztatások száma 34=81, mivel mindegyik hangya 3 különböző irányban indulhat el. Számoljuk össze, hány olyan helyváltoztatás van, amikor a hangyák nem találkoznak. Ez akkor teljesül, ha egyrészt mindegyikük más csúcs felé indul el (ekkor a csúcsokban nem találkozhatnak), azaz a megfelelő számnégyesekben csupa különböző szám áll (pl. (2,3,4,1) ilyen). Ahhoz, hogy valamelyik élen se találkozzanak a hangyák, az kell, hogy két hangya ne egymás felé induljon el. Pl., ha az 1-es csúcsban ülő hangya a 2. csúcs felé indul el (vagyis a számnégyes első száma a 2), akkor, hogy ne találkozzanak, a 2. csúcsban ülő hangya nem mehet az 1. csúcs felé (azaz a számnégyes 2. száma nem lehet 1).
 
 

A következő számnégyesekre teljesül mindkét feltétel:
(2,3,4,1);(2,4,1,3);(3,1,4,2);(3,4,2,1);(4,3,1,2);(4,1,2,3).
A 81 helyváltoztatás között tehát 6 olyan van, amikor a hangyák nem találkoznak. Így annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik, 7581=2527.