Feladat: C.797 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Kiss-Tóth Annamária 
Füzet: 2005/december, 524 - 525. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Osztópontok koordinátái, Egyenesek egyenlete, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: C.797

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. megoldás. Az asztal akkor nem billeg, ha a négy láb ,,végpontja'' egy síkban van. Jelöljük a végpontokat sorban A, B, C és D-vel, a megfelelő lábak hossza rendre 70, 71, 72,5, 72. Az A-t és a C-t összekötő szakasz felezőpontja 70+72,52=71,25 cm távolságra van az asztallap síkjától.
Hasonlóan, a másik két átellenes végpont, B és D által meghatározott szakasz felezőpontja 72+712=71,5 cm-rel van az asztallap síkja alatt. A két felezőpont különböző, ezért AC és BD nem metszik egymást, tehát A, B, C, D nem egysíkú, az asztal billegni fog.

 
2. megoldás. Helyezzük el az asztalt egy térbeli koordinátarendszerben. Az asztal síkja legyen az (x;y) sík, az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy az asztal éle egységnyi, illetve hogy a lábak az asztal négy sarkában a lapra merőlegesek. A négy asztalláb végpontjának koordinátái ekkor U(0;0;70), V(1;0;71), W(1;1;72,5), Z(0;1;72). Írjuk fel az U, V, W pontokon átmenő sík egyenletét.
 
 

Tudjuk, hogy a sík általános egyenlete: Ax+By+Cz+D=0. Írjuk be az U, V, W pontok koordinátáit az egyenletbe és oldjuk meg az így kapott egyenletrendszert:
70C+D=0,(1)A+71C+D=0,(2)A+B+72,5C+D=0.(3)

(1)-ből D=-70C. Vonjuk ki (3)-ból (2)-t: B+1,5C=0, innen B=-1,5C.
Írjuk be (2)-be D előbb kapott értékét:
A+71C-70C=0,innenA=-C.
A, B és D  C-vel kifejezett értékeit írjuk be a sík általános egyenletébe:
-Cx-1,5Cy+Cz-70C=0.
Osztva -C-vel: x+1,5y-z+70=0 a három ponton átmenő sík egyenlete.
Helyettesítsük be az egyenletbe a negyedik, Z pont koordinátáit:
1,5-72+70≠0.
A negyedik pont koordinátái nem elégítik ki az egyenletet, azaz nincs benne a másik három pont által meghatározott síkban. Az asztal tehát billegni fog.