Kezdőlap


Feladat:	C.796	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Salát Zsófia
Füzet:	2005/december, 523 - 524. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Háromszög területe, Beírt kör, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: C.796

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B C$ derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága $m$ , beírt körének sugara $r$ , $A$ -ból, illetve $B$ -ből a beírt körhöz húzott érintőszakaszok hossza $x$ , illetve $y$ . Tudjuk, hogy $r = 0, 45 m = \frac{9}{20} m$ .

Írjuk fel a háromszög területének kétszeresét kétféleképpen:

\begin{matrix} 2 T = (x + y) m, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} 2 T = (x + y) r + (y + r) r + (x + r) r = 2 (x + y + r) r . \end{matrix}

A két terület egyenlőségéből az

r = \frac{9}{20} m

összefüggés felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} (x + y) m = 2 (x + y + \frac{9}{20} m) \frac{9}{20} m . \end{matrix}

Osszunk

m \neq 0

-val és végezzük el a műveleteket:

\begin{matrix} x + y = 2 \cdot \frac{9}{20} (x + y) + 2 \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{9}{20} m . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} \frac{m}{x + y} = \frac{20}{81}; azaz \frac{m}{c} = \frac{20}{81}, \end{matrix}

és

m = \frac{20}{9} r

-et helyettesítve kapjuk, hogy

r = \frac{1}{9} c

, vagyis a beírt kör sugara az átfogó 9-ed része.
Ezután írjuk fel a háromszögre Pitagorasz tételét:

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = {(x + r)}^{2} + {(y + r)}^{2} . \end{matrix}

Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy

\begin{matrix} x y = (x + y) r + r^{2} . \end{matrix}

(1)

Ismerjük tehát az átfogó és a beírt kör sugarának arányát. Ez az arány hasonlóság erejéig meghatározza a derékszögű háromszöget. A hasonlóság pedig már egyértelműen meghatározza a háromszög szögeit.
Válasszuk az átfogót 9 egységnek, ekkor

x + y = 9

, innen

y = 9 - x

, a beírt kör sugara 1. Az (1) egyenletbe helyettesítve:

x (9 - x) = 10

, azaz

x^{2} - 9 x + 10 = 0

\begin{matrix} x = \frac{9 + \sqrt[]{41}}{2}, és sin β = \frac{x + r}{x + y} = \frac{\frac{9 + \sqrt[]{41}}{2} + 1}{9} . \end{matrix}

Elvégezve a kijelölt műveleteket:

sin β \approx 0, 9668

és

β = 75, 195^{\circ}

, a háromszög másik hegyesszöge pedig

α = 14, 805^{\circ}