|
Feladat: |
B.3791 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Blázsik Zoltán , Bogár Péter , Csaba Ákos , Dücső Márton , Gehér György , Hujter Bálint , Károlyi Márton , Kiss-Tóth Christian , Kónya Gábor , Kovács Péter , Lovász László Miklós , Mészáros Gábor , Nagy János , Pásztor Attila , Strenner Balázs , Sümegi Károly , Szalóki Dávid , Tomon István , Udvari Balázs |
Füzet: |
2005/december,
534 - 536. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai bizonyítások, Koszinusztétel alkalmazása, Háromszögek geometriája, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/január: B.3791 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Mivel , és e szögek összege , a szögek mindegyike -os. Tehát az , , egyenesek egymással páronként -os szöget zárnak be, a körüli teljes szöget 6 egyenlő részre osztják. Jelölje az háromszög oldalaira kifelé szerkesztett szabályos háromszögek harmadik csúcsát rendre , és (lásd az ábrát). Az , és négyszögek húrnégyszögek, mert -nél lévő szögük -os, azzal szemközti szögük pedig -os. Forgassuk el körül -kal az háromszöget. Ekkor képe , képét pedig jelöljük -vel. Mivel , rajta van a egyenesen. De is , s mivel , a , , pontok is egy egyenesre esnek, tehát , és kollineárisak. Mivel pedig és , azért . Ugyanígy látható be, hogy az és a szakaszok is tartalmazzák -t, továbbá mindkét szakasz hossza megegyezik -vel.
Az és a háromszögek hasonlóak, mert és , ugyanis mindkettő a ívhez tartozó kerületi szög a húrnégyszög körülírt körében. Ezért megfelelő oldalaik aránya megegyezik, . Ebből kifejezve -t, és felhasználva az összefüggést valamint a számtani és a mértani közepek közti egyenlőtlenséget kapjuk, hogy | | Ugyanígy látható be, hogy A koszinusztételt az háromszög oldalára felírva kapjuk, hogy | | Vagyis -t és -t az előző egyenlőtlenségekből kapott kifejezésekkel becsülve: | | Mivel és , azért az egyenlőtlenséget alakba is írhatjuk. A koszinusztételt az háromszög oldalára felírva kapjuk, hogy , tehát | | Viszont a háromszög-egyenlőtlenség szerint , és mivel valamint , azért , ami éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha szabályos háromszög.
Megjegyzés. A pontot az háromszög izogonális pontjának nevezzük. Ez az a pont, amelynek ‐ abban az esetben, ha a háromszög szögei kisebbek -nál ‐ a háromszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális. Ennek ‐ valamint azon tulajdonságainak, amelyeket a megoldás első részében beláttunk ‐ bizonyítása megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 1016‐1019. feladataiban. |
|