Kezdőlap


Feladat:	B.3790	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czirók Emese
Füzet:	2005/november, 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: B.3790

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Adjuk össze a két egyenletet, majd rendezzünk 0-ra:

\begin{matrix} x^{2} - 4 \sqrt[]{3 x - 2} + 10 - 2 y + y^{2} - 6 \sqrt[]{4 y - 3} + 11 - x = 0. \end{matrix}

Próbáljuk meg négyzetek összegévé alakítani a bal oldali kifejezést:

\begin{matrix} ((3 x - 2) - 4 \sqrt[]{3 x - 2} + 4) + ((4 y - 3) - 6 \sqrt[]{4 y - 3} + 9) + x^{2} - 4 x + y^{2} - 6 y + 13 = 0. \end{matrix}

Vagyis az egyenlet

\begin{matrix} {(\sqrt[]{3 x - 2} - 2)}^{2} + {(\sqrt[]{4 y - 3} - 3)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 0 \end{matrix}

alakba írható. Egy valós szám négyzete nemnegatív, azért az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

x = 2

és

y = 3.

Ezek az értékek az eredeti egyenleteket is kielégítik, mert

\begin{matrix} 2^{2} - 4 \sqrt[]{3 \cdot 2 - 2} + 10 = 2 \cdot 3 és 3^{2} - 6 \sqrt[]{4 \cdot 3 - 3} + 11 = 2. \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása:

x = 2

és

y = 3