A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Mivel és , azért a 2005 szerencsés szám.
II. megoldás. A megoldás során a szerencsés számok bizonyos tulajdonságait igazoljuk és ezek alapján válaszolunk a feladat kérdésére. (1) Bármely négyzetszám szerencsés. Valóban, hiszen és a tagok reciprokösszege . (2) Egy négyzetszám és egy szerencsés szám szorzata szerencsés. Legyen szerencsés, azaz és tekintsük a szorzatot. Ez a szorzat szám összegeként írható:
A részben szereplő tagok reciprokösszege , így a tag reciprokösszege , ami feltevésünk szerint 1. (3) Ha szerencsés számok, akkor is szerencsés. Ha az ,,szerencsés'' felbontása és az összeg minden tagját -val szorozzuk, akkor a szám | | reciprokösszegű felbontását kapjuk. Mivel az összegnek éppen része van, valóban szerencsés. A feladat kérdésére rátérve , így (3) szerint elegendő a 401-et öt darab szerencsés szám összegeként előállítani. (1) miatt szerencsés szám a és a , (2) miatt pedig a . Így alapján 2005 szerencsés szám.
Megjegyzések. 1. A fenti megoldásban a (2) állítás nem szükséges. Mivel öt darab négyzetszám és így (1) szerint szerencsés szám összege, így (3) szerint szerencsés. 2. A (3) tulajdonságból következik (1) is és (2) is. Előbbi a felírásból (az 1 nyilvánvalóan szerencsés), utóbbi pedig az választással a alakból adódik. 3. A (2) tulajdonság általánosabban is igaz: könnyű megmutatni, hogy szerencsés számok szorzata is szerencsés. A szerencsés számok elméletének alaposabb kidolgozásához azonban nem érdemes hozzáfogni: nem túl bonyolult esetvizsgálatok után gyorsan kiderül, hogy néhány ‐ egészen pontosan 13 ‐ kivételtől eltekintve valamennyi pozitív egész szám szerencsés. |