Kezdőlap


Feladat:	B.3785	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Teréz , Cserép Gergely
Füzet:	2005/október, 415 - 416. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: B.3785

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel $2005 = 5 + 40 \cdot 50$ és $\frac{1}{5} + 40 \cdot \frac{1}{50} = 1$ , azért a 2005 szerencsés szám.

II. megoldás. A megoldás során a szerencsés számok bizonyos tulajdonságait igazoljuk és ezek alapján válaszolunk a feladat kérdésére.
(1) Bármely négyzetszám szerencsés.
Valóban, hiszen

k^{2} = {\underset{︸}{k + k + ... + k}}_{k darab}^{}

és a tagok reciprokösszege

k \cdot \frac{1}{k} = 1

.
(2) Egy négyzetszám és egy szerencsés szám szorzata szerencsés.
Legyen

S = x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}

szerencsés, azaz

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + ... + \frac{1}{x_{n}} = 1

és tekintsük a

k^{2} \cdot S

szorzatot. Ez a szorzat

k \cdot n

szám összegeként írható:

\begin{matrix} k^{2} \cdot S = k^{2} (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) = \\ = {\underset{︸}{k x_{1} + k x_{1} + ... + k x_{1}}}_{k darab}^{} + {\underset{︸}{k x_{2} + k x_{2} + ... + k x_{2}}}_{k darab}^{} + ... + {\underset{︸}{k x_{n} + k x_{n} + ... + k x_{n}}}_{k darab}^{} . \end{matrix}

{\underset{︸}{k x_{i} + k x_{i} + ... + k x_{i}}}_{k darab}^{}

részben szereplő tagok reciprokösszege

k \cdot \frac{1}{k x_{i}} = \frac{1}{x_{i}}

, így a

k^{2} \cdot n

tag reciprokösszege

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + ... + \frac{1}{x_{n}}

, ami feltevésünk szerint 1.
(3) Ha

S_{1}, S_{2}, ..., S_{k}

szerencsés számok, akkor

S = k (S_{1} + S_{2} + ... + S_{k})

is szerencsés.
Ha az

S_{i}

,,szerencsés'' felbontása

S_{i} = x_{i,1} + x_{i,2} + ... + x_{i, n_{i}}

és az összeg minden tagját

k

-val szorozzuk, akkor a

k \cdot S_{i}

szám

\begin{matrix} \frac{1}{k} ({\underset{︸}{\frac{1}{x_{i,1}} + \frac{1}{x_{i,2}} + ... + \frac{1}{x_{i, n_{i}}}}}_{1}^{}) = \frac{1}{k} \end{matrix}

reciprokösszegű felbontását kapjuk. Mivel az összegnek éppen

k

része van,

S

valóban szerencsés.
A feladat kérdésére rátérve

2005 = 5 \cdot 401

, így (3) szerint elegendő a 401-et öt darab szerencsés szám összegeként előállítani. (1) miatt szerencsés szám a

144 = 12^{2}

és a

25 = 5^{2}

, (2) miatt pedig a

44 = 2^{2} \cdot 11

. Így

401 = 144 + 144 + 44 + 44 + 25

alapján 2005 szerencsés szám.

Megjegyzések. 1. A fenti megoldásban a (2) állítás nem szükséges. Mivel

401 = 4 \cdot 100 + 1

öt darab négyzetszám és így (1) szerint szerencsés szám összege, így (3) szerint

2005 = 5 \cdot 401

szerencsés.
2. A (3) tulajdonságból következik (1) is és (2) is. Előbbi a

k^{2} = k ({\underset{︸}{1 + 1 + ... + 1}}_{k darab}^{})

felírásból (az 1 nyilvánvalóan szerencsés), utóbbi pedig az

S = S_{1} = S_{2} = ... = S_{k}

választással a

k^{2} S = k ({\underset{︸}{S + S + ... + S}}_{k darab}^{})

alakból adódik.
3. A (2) tulajdonság általánosabban is igaz: könnyű megmutatni, hogy szerencsés számok szorzata is szerencsés. A szerencsés számok elméletének alaposabb kidolgozásához azonban nem érdemes hozzáfogni: nem túl bonyolult esetvizsgálatok után gyorsan kiderül, hogy néhány ‐ egészen pontosan 13 ‐ kivételtől eltekintve valamennyi pozitív egész szám szerencsés.