Feladat:	B.3784	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2005/május, 280 - 281. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: B.3784

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{ab}\le \frac{a+b}{2}\mathrm{,}\sqrt[]{ac}\le \frac{a+c}{2}\mathrm{,}\sqrt[]{bc}\le \frac{b+c}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Szorozzuk meg az első egyenlőtlenséget 5-tel, a másodikat 7-tel, a harmadikat pedig 3-mal és adjuk össze a kapott egyenlőtlenségeket: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5\sqrt[]{ab}+7\sqrt[]{ac}+3\sqrt[]{bc}\le 5\cdot \frac{a+b}{2}+7\cdot \frac{a+c}{2}+3\cdot \frac{b+c}{2}=6a+4b+5c\mathrm{,}}\end{array}$ ami éppen a bizonyítandó állítás. Az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor van, ha $a=b=c$.