Feladat: C.790 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csizmadia Laura 
Füzet: 2006/február, 85 - 86. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyszögek geometriája, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/január: C.790

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsünk egy tetszőleges PQR háromszöget és toljuk el ennek a PQ-val párhuzamos P1Q1 középvonalát a PQ oldal egyenesére. (1. ábra) Azt állítjuk, hogy a középvonal mozgás közben olyan paralelogrammát súrol, amelynek a területe fele a PQR háromszög területének.

 
 

1. ábra

Valóban, a paralelogramma PQ-val párhuzamos oldala a középvonal, hossza 12PQ. Az ehhez tartozó magasság ugyanakkor a fele a háromszög R-ből induló magasságának, hiszen a középvonal minden olyan szakaszt felez, amely az R csúcsot köti össze a szemközti oldal egyenesének valamelyik pontjával.
Tekintsük ezek után a feladat konkáv négyszögét és betűzzük a csúcsait és az oldalak felezőpontjait a 2. ábra szerint. Az EF és a HG szakaszok középvonalak a DAB, illetve a DBC háromszögben, így párhuzamosak és egyenlők, az oldalfelezőpontok tehát paralelogrammát alkotnak. Ha most az ACD háromszög EH középvonalát a DB iránnyal párhuzamosan eltoljuk az AC egyenesére, majd ugyanilyen irányban visszatoljuk az ACB háromszög FG középvonalába, akkor a fentiek szerint a mozgó szakasz által egyszeresen súrolt EFGH paralelogramma területe az ACD és az ACB háromszögek félterületének a különbsége. A konkáv négyszög területe éppen e két háromszög területének a különbsége, az oldalfelező pontok tehát olyan négyszöget (paralelogrammát) határoznak meg, amelynek a területe fele a négyszögének.
 
 

2. ábra
 

Megjegyzés. A megoldásban igazolt kapcsolat konvex négyszögek esetében közismert. Eredményünk szerint most már tetszőleges négyszögre igaz, hogy az oldalfelező pontjai által meghatározott paralelogramma területe a négyszög területének a fele. A bizonyítás kezdetén ezt láttuk be a háromszögre (3. ábra). Gyakori jelenség, hogy egy tétel bizonyítása egy-egy elfajult esetre vezethető vissza.
 
 

3. ábra