A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tekintsünk egy tetszőleges háromszöget és toljuk el ennek a -val párhuzamos középvonalát a oldal egyenesére. (1. ábra) Azt állítjuk, hogy a középvonal mozgás közben olyan paralelogrammát súrol, amelynek a területe fele a háromszög területének.
1. ábra Valóban, a paralelogramma -val párhuzamos oldala a középvonal, hossza . Az ehhez tartozó magasság ugyanakkor a fele a háromszög -ből induló magasságának, hiszen a középvonal minden olyan szakaszt felez, amely az csúcsot köti össze a szemközti oldal egyenesének valamelyik pontjával. Tekintsük ezek után a feladat konkáv négyszögét és betűzzük a csúcsait és az oldalak felezőpontjait a 2. ábra szerint. Az és a szakaszok középvonalak a , illetve a háromszögben, így párhuzamosak és egyenlők, az oldalfelezőpontok tehát paralelogrammát alkotnak. Ha most az háromszög középvonalát a iránnyal párhuzamosan eltoljuk az egyenesére, majd ugyanilyen irányban visszatoljuk az háromszög középvonalába, akkor a fentiek szerint a mozgó szakasz által egyszeresen súrolt paralelogramma területe az és az háromszögek félterületének a különbsége. A konkáv négyszög területe éppen e két háromszög területének a különbsége, az oldalfelező pontok tehát olyan négyszöget (paralelogrammát) határoznak meg, amelynek a területe fele a négyszögének.
2. ábra Megjegyzés. A megoldásban igazolt kapcsolat konvex négyszögek esetében közismert. Eredményünk szerint most már tetszőleges négyszögre igaz, hogy az oldalfelező pontjai által meghatározott paralelogramma területe a négyszög területének a fele. A bizonyítás kezdetén ezt láttuk be a háromszögre (3. ábra). Gyakori jelenség, hogy egy tétel bizonyítása egy-egy elfajult esetre vezethető vissza.
3. ábra |