Kezdőlap


Feladat:	3731. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Széchenyi Gábor
Füzet:	2005/február, 116 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/szeptember: 3731. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A külső négyzet kerülete $4 L$ . A következő négyzet oldala $\frac{L}{2} \sqrt[]{2} = \frac{L}{\sqrt[]{2}}$ , kerülete $\frac{4 L}{\sqrt[]{2}}$ . Hasonlóan a következő négyzet kerülete az előzőénél $\sqrt[]{2}$ -ször kisebb, és általában az $n$ -edik négyzet kerülete

\begin{matrix} a_{n} = \frac{4 L}{{(\sqrt[]{2})}^{(n - 1)}} . \end{matrix}

Egy mértani sorozattal állunk szemben, melynek ‐ ha a tagok száma

n

‐ az összege

\begin{matrix} S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = 4 L \frac{{(\frac{1}{\sqrt[]{2}})}^{n} - 1}{\frac{1}{\sqrt[]{2}} - 1} . \end{matrix}

n ≫ 1

, akkor a számlálóban levő

n

-edik hatvány 1 mellett elhanyagolható, és az összeg, vagyis a huzal teljes hossza

\begin{matrix} L_{teljes} = 4 L \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt[]{2}}} = (8 + 4 \sqrt[]{2}) L . \end{matrix}

b)

A szimmetria miatt az

A B

szakasz felezőmerőlegesén levő pontok ekvipotenciálisak. Ha az 1. ábrán látható

P

pontban találkozó vezetékeket szétforrasztjuk, és ugyanígy járunk el a

Q

pontban találkozó vezetékekkel is, az áramkör eredő ellenállása nem változik meg, ugyanis a szétforrasztott pontok is ekvipotenciálisak maradnak, így mindegy, hogy van-e közöttük elektromos kontaktus, vagy nincs.

1. ábra

Jelöljük az

A

és a

B

pontok közötti eredő ellenállást

X

-szel. A szétforrasztott kapcsolásnak a

P

és

Q

pontokhoz illeszkedő belső, négyzet alakú része az eredeti kapcsolás

2 : 1

arányban kicsinyített változata, emiatt minden oldalának ellenállása éppen fele az eredeti kapcsolásbeli huzalénak, és ugyanez igaz az eredő ellenállására is, annak értéke tehát

X / 2

2. ábra

A teljes hálózat tehát helyettesíthető a 2. ábrán látható kapcsolással, melyen feltüntettük az egyes huzaldarabok (hosszukkal arányos) ellenállását is. Ezt érdemes még tovább bontani. A középső,

X / 2

nagyságú ellenállás felfogható két egyforma, nevezetesen

X

nagyságú párhuzamosan kapcsolt ellenállásként, melyek végpontjait ‐ az ekvipotenciális pontokra vonatkozó korábbi érvelést megismételve ‐ akár szét is forraszthatjuk (3. ábra).

3. ábra

Láthatóan a kapcsolás szétesett két egyforma, egymással párhuzamosan kapcsolt egységre, s mivel az

A

és

B

pontok közötti eredő ellenállás

X

, az egyes egységek eredő ellenállása

2 X

kell legyen. Egy-egy ilyen egység viszont sorosan és párhuzamosan kapcsolt elemekből áll, így az ellenállása könnyen számolható:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{R}{2} + {(\frac{1}{R} + \frac{\sqrt[]{2}}{R} + \frac{1}{X + \frac{R}{\sqrt[]{2}}})}^{- 1} = 2 X . \end{matrix}

Ez az egyenlet

X

-re nézve másodfokú, melynek megoldása

\begin{matrix} X = 0, 6589 R \approx 0, 66 R, \end{matrix}

ennyi tehát az eredeti kapcsolás eredő ellenállása.