Kezdőlap


Feladat:	3722. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Peregi Tamás
Füzet:	2005/február, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev testek mechanikája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/szeptember: 3722. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a lemez homogén (egyenletes tömegeloszlású), bármelyik darabjának tömege arányos a területével. Jelöljük ezt az arányossági tényezőt $k$ -val!
Osszuk fel a vízszintesen elhelyezett lemezt gondolatban két részre: az ábrán látható $P Q R U$ négyzetre és a $T Q P$ egyenlő szárú háromszögre. Ha az egész lemez tömegközéppontja az $A$ pontba esik, akkor az egyes részek súlyának a $P Q$ egyenesre vonatkoztatott forgatónyomatéka azonos nagyságú kell legyen.

A négyzet alakú rész tömege

k a^{2}

, súlya

k a^{2} g

, és súlyának

P Q

-ra vonatkoztatott forgatónyomatéka

\begin{matrix} M_{négyzet} = k g a^{2} \cdot \frac{a}{2} . \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy a négyzet

S_{1}

tömegközéppontja a geometriai középpontjába esik.)
A háromszög alakú rész tömege

k \frac{a}{2} s

, súlya pedig

k \frac{a}{2} s g

, ahol

s = \sqrt[]{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}

a háromszög

T

csúcsához tartozó súlyvonalának (egyben magasságvonalának) a hossza. Geometriából ismert, hogy a háromszög súlypontja a súlyvonalakat harmadolja, és mivel egy homogén háromszög-lemez fizikai értelemben vett súlypontja megegyezik a geometriai értelemben vett súlyponttal, a háromszög alakú lemezdarab

S_{2}

tömegközéppontja és az

A

pont távolsága

\frac{s}{3}

. Ennek a résznek a forgatónyomatéka a

P Q

egyenesre

\begin{matrix} M_{háromszög} = k g \cdot \frac{a}{2} s \cdot \frac{s}{3} = k g a \cdot \frac{1}{6} [b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}] . \end{matrix}

A forgatónyomatékok egyenlőségéből

\begin{matrix} a^{2} = \frac{1}{3} [b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}], azaz \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{13}{4} . \end{matrix}

A kérdéses arány tehát

\begin{matrix} \frac{b}{a} = \frac{\sqrt[]{13}}{2} \approx 1, 80. \end{matrix}

Megjegyzés. Sokan ‐ tévesen ‐ a négyzet és a háromszög területének egyenlőségét vagy az

S_{1} A = S_{2} A

egyenlőséget vélték a kérdéses egybeesés szükséges feltételének. A helyes kritériumban ‐ mint láttuk ‐ sem az egyik, sem a másik mennyiség, hanem a szorzatuk (és az ezzel arányos forgatónyomaték) megegyezése szerepel.